求利用A*算法解决野人与传教士问题的解决方案

[jabelai]

有N个修道士和N个野人准备渡河，但只有一条能容纳C人的小船，修道士的人数不得少于野人的人数（除非修道士的人数为0）。两种人都会划船，求一利用A*算法的方案。

[kingssman]

A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。
　　公式表示为： f(n)=g(n)+h(n),
　　其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，
　　g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，
　　h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。
　　保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：
　　估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
　　如果 估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
　　估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。
　　例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。
　　conditions of heuristic
　　Optimistic (must be less than or equal to the real cost)
　　As close to the real cost as possible
　　主要搜索过程：
　　创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
　　遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,->算X的估价值->
　　While(OPEN!=NULL)
　　{
　　从OPEN表中取估价值f最小的节点n;
　　if(n节点==目标节点) break;
　　else
　　{
　　if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
　　if( X的估价值小于OPEN表的估价值 )
　　更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值
　　if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
　　if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )
　　更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值
　　if(X not in both)
　　求X的估价值;
　　并将X插入OPEN表中; //还没有排序
　　}
　　将n节点插入CLOSE表中;
　　按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。
　　启发式搜索其实有很多的算法，比如：局部择优搜索法、最好优先搜索法等等。当然A*也是。这些算法都使用了启发函数，但在具体的选取最佳搜索节点时的策略不同。象局
　　部择优搜索法，就是在搜索的过程中选取“最佳节点”后舍弃其他的兄弟节点，父亲节点，而一直得搜索下去。这种搜索的结果很明显，由于舍弃了其他的节点，可能也把最好的
　　节点都舍弃了，因为求解的最佳节点只是在该阶段的最佳并不一定是全局的最佳。最好优先就聪明多了，他在搜索时，便没有舍弃节点（除非该节点是死节点），在每一步的估价
　　中都把当前的节点和以前的节点的估价值比较得到一个“最佳的节点”。这样可以有效的防止“最佳节点”的丢失。那么A*算法又是一种什么样的算法呢？其实A*算法也是一种最
　　好优先的算法。只不过要加上一些约束条件罢了。由于在一些问题求解时，我们希望能够求解出状态空间搜索的最短路径，也就是用最快的方法求解问题，A*就是干这种事情的！
　　我们先下个定义，如果一个估价函数可以找出最短的路径，我们称之为可采纳性。A*算法是一个可采纳的最好优先算法。A*算法的估价函数可表示为：
　　f'(n) = g'(n) + h'(n)
　　这里，f'(n)是估价函数，g'(n)是起点到终点的最短路径值，h'(n)是n到目标的最断路经的启发值。由于这个f'(n)其实是无法预先知道的，所以我们用前面的估价函数f(n)做
　　近似。g(n)代替g'(n)，但 g(n)>=g'(n)才可（大多数情况下都是满足的，可以不用考虑），h(n)代替h'(n)，但h(n)<=h'(n)才可（这一点特别的重要）。可以证明应用这样的估价
　　函数是可以找到最短路径的，也就是可采纳的。我们说应用这种估价函数的最好优先算法就是A*算法。哈。你懂了吗？肯定没懂。接着看。
　　举一个例子，其实广度优先算法就是A*算法的特例。其中g(n)是节点所在的层数，h(n)=0，这种h(n)肯定小于h'(n)，所以由前述可知广度优先算法是一种可采纳的。实际也是
　　。当然它是一种最臭的A*算法。
　　再说一个问题，就是有关h(n)启发函数的信息性。h(n)的信息性通俗点说其实就是在估计一个节点的值时的约束条件，如果信息越多或约束条件越多则排除的节点就越多，估价函
　　数越好或说这个算法越好。这就是为什么广度优先算法的那么臭的原因了，谁叫它的h(n)=0，一点启发信息都没有。但在游戏开发中由于实时性的问题，h(n)的信息越多，它的计
　　算量就越大，耗费的时间就越多。就应该适当的减小h(n)的信息，即减小约束条件。但算法的准确性就差了，这里就有一个平衡的问题。
　　}

[kingssman]

【标 题】：精简的A算法
【作 者】：转载,不只作者是谁.有问题请与我联系


我曾看过一些有关A*算法的程序，不过写得比较简洁、易懂的还是风云写的A*算法教学实例，但是这个算法并没有进行优化，该程序要用到实际应用中，还会有一定的限制， 所以我对该算法进行了改进，并加上更详细的算法说明，使其具有更好的教学作用和实用价值。开始前我先给出A*算法的基本思路：
　　问题：求出2D的迷宫中起始点S到目标点E的最短路径？
　　算法：

　　findpath()
　　{
　　　　把S点加入树根（各点所在的树的高度表示从S点到该点所走过的步数）；
　　　　把S点加入排序队列（按该点到E点的距离排序+走过的步数从小到大排序）；
　　　　1、排序队列sort_queue中距离最小的第一个点出列，并保存入store_queue中
　　　　2、从出列的点出发，分别向4个（或8个）方向中的一个各走出一步
　　　　3、并估算第2步所走到位置到目标点的距离，并把该位置加入树，最后把该点按距离从小到大排序后并放入队列
中（由trytile函数实现）
　　　　4、如果该点从四个方向上都不能移动，则把该点从store_queue中删除
　　　　5、回到第一点，直到找到E点则结束

　　　　从目标点回溯树，直到树根则可以找到最佳路径，并保存在path[]中
　　}

　　文末附带的程序参考了风云的最短路径代码，并加以改进和优化：

把原来用于存放已处理节点的堆栈改为队列（store_queue），这样在从sort_queue队列出列时可直接放入
store_queue中。
解除了地图大小的限制（如果有64K内存限制时，地图大小只能是180x180）。
删除了原程序中的一些冗余，见程序中的注释。
程序继续使用dis_map数组保存各点历史历史最佳距离，也包含了某点是否已经经过的信息，虽然这样做可能会比使用链表多用一些内存，但是在搜索时可以节省不时间。
程序更具有实用性，可直接或修改后运用于你的程序中，但请你使用该代码后 应该返回一些信息给我，如算法的改进或使用于什么程序等。 本程序可以用Borland C++或DJGPP编译，并附带有一个数据文件，保存有地图的数据。最后值得一提的是，该地图文件格式与风云的源代码的地图格式不一样。
/*-------------------------------------------------------------------------*/

//#define NDEBUG
#include
#include
#include
#include

#define tile_num(x,y) ((y)*map_w+(x)) //将 x,y 坐标转换为地图上块的编号
#define tile_x(n) ((n)%map_w) //由块编号得出 x,y 坐标
#define tile_y(n) ((n)/map_w)

#define MAPMAXSIZE 180 //地图面积最大为 180x180，如果没有64K内存限制可以更大
#define MAXINT 32767

//树结构, 比较特殊, 是从叶节点向根节点反向链接，方便从叶节点找到根节点
typedef struct tree_node *TREE;

struct tree_node {
int h; //节点所在的高度，表示从起始点到该节点所有的步数
int tile; //该节点的位置
TREE father; //该节点的上一步
};

//链接结构，用于保存处理过的和没有处理过的结点
typedef struct link_node *LINK;

struct link_node {
TREE node;
int f;
LINK next;
};

LINK sort_queue; // 保存没有处理的行走方法的节点
LINK store_queue; // 保存已经处理过的节点 (搜索完后释放)

unsigned char * map; //地图数据
unsigned int * dis_map; //保存搜索路径时,中间目标地最优解

int map_w,map_h; //地图宽和高
int start_x,start_y,end_x,end_y; //地点,终点坐标

// 初始化队列
void init_queue()
{
sort_queue=(LINK)malloc(sizeof(*sort_queue));
sort_queue->node=NULL;
sort_queue->f=-1;
sort_queue->next=(LINK)malloc(sizeof(*sort_queue));
sort_queue->next->node=NULL;
sort_queue->next->f=MAXINT;
sort_queue->next->next=NULL;

store_queue=(LINK)malloc(sizeof(*store_queue));
store_queue->node=NULL;
store_queue->f=-1;
store_queue->next=NULL;
}

// 待处理节点入队列, 依*对目的地估价距离插入排序
void enter_queue(TREE node,int f)
{
LINK p=sort_queue,father,q;
while(f>p->f) {
father=p;
p=p->next;
assert(p);
}
q=(LINK)malloc(sizeof(*q));
assert(sort_queue);
q->f=f,q->node=node,q->next=p;
father->next=q;
}

// 将离目的地估计最近的方案出队列
TREE get_from_queue()
{
LINK bestchoice=sort_queue->next;
LINK next=sort_queue->next->next;
sort_queue->next=next;

bestchoice->next=store_queue->next;
store_queue->next=bestchoice;
return bestchoice->node;
}

// 释放栈顶节点
void pop_stack()
{
LINK s=store_queue->next;
assert(s);
store_queue->next=store_queue->next->next;
free(s->node);
free(s);
}

// 释放申请过的所有节点
void freetree()
{
int i;
LINK p;
while(store_queue){
p=store_queue;
free(p->node);
store_queue=store_queue->next;
free(p);
}
while (sort_queue) {
p=sort_queue;
free(p->node);
sort_queue=sort_queue->next;
free(p);
}
}

// 估价函数,估价 x,y 到目的地的距离,估计值必须保证比实际值小
int judge(int x,int y)
{
int distance;
distance=abs(end_x-x)+abs(end_y-y);
return distance;
}

// 尝试下一步移动到 x,y 可行否
int trytile(int x,int y,TREE father)
{
TREE p=father;
int h;
if (map[tile_num(x,y)]!=’ ’) return 1; // 如果 (x,y) 处是障碍,失败
//这一步用来判断(x,y)点是否已经加入队列，多余可以删除，因为dis_map已经
//保存该点是否已经保存
//while (p) {
// if (x==tile_x(p->tile) && y==tile_y(p->tile)) return 1; //如果 (x,y) 曾经经过,失败
// p=p->father;
//}
h=father->h+1;
if (h>=dis_map[tile_num(x,y)]) return 1; // 如果曾经有更好的方案移动到 (x,y) 失败
dis_map[tile_num(x,y)]=h; // 记录这次到 (x,y) 的距离为历史最佳距离

// 将这步方案记入待处理队列
p=(TREE)malloc(sizeof(*p));
p->father=father;
p->h=father->h+1;
p->tile=tile_num(x,y);
enter_queue(p,p->h+judge(x,y));
return 0;
}

// 路径寻找主函数
int * findpath(void)
{
TREE root;
int i,j;
int * path;
memset(dis_map,0xff,map_h*map_w*sizeof(*dis_map)); //填充dis_map为0XFF，表示各点未曾经过
init_queue();
root=(TREE)malloc(sizeof(*root));
root->tile=tile_num(start_x,start_y);
root->h=0;
root->father=NULL;
enter_queue(root,judge(start_x,start_y));
for (;;) {
int x,y,child;
TREE p;
root=get_from_queue();
if (root==NULL) {
return NULL;
}
x=tile_x(root->tile);
y=tile_y(root->tile);
if (x==end_x && y==end_y) break; // 达到目的地成功返回

child=trytile(x,y-1,root); //尝试向上移动
child&=trytile(x,y+1,root); //尝试向下移动
child&=trytile(x-1,y,root); //尝试向左移动
child&=trytile(x+1,y,root); //尝试向右移动
//child&=trytile(x+1,y-1,root);//尝试向右上移动
//child&=trytile(x+1,y+1,root); //尝试向右下移动
//child&=trytile(x-1,y+1,root); //尝试向左下移动
//child&=trytile(x-1,y-1,root); //尝试向左上移动

if (child!=0)
pop_stack(); // 如果四个方向均不能移动,释放这个死节点
}

// 回溯树，将求出的最佳路径保存在 path[] 中
path=(int*)malloc((root->h+2)*sizeof(int));
assert(path);
for (i=0;root;i++) {
path=root->tile;
root=root->father;
}
path=-1;
freetree();
return path;
}

void printpath(int *path)
{
int i;
if(path==NULL) return
for (i=0;path>=0;i++) {
gotoxy(tile_x(path)+1,tile_y(path)+1);
cprintf(".");
}
}

int readmap()
{
FILE *f;
int i,j;
f=fopen("map.dat","r");
assert(f);
fscanf(f,"%d,%d\n",&map_w,&map_h);
map=malloc(map_w*map_h+1);
assert(map);
for(i=0;i fgets(map+tile_num(0,i),map_w+2,f);
fclose(f);
start_x=-1,end_x=-1;
for (i=0;i for (j=0;j if (map[tile_num(j,i)]==’s’) map[tile_num(j,i)]=’ ’,start_x=j,start_y=i;
if (map[tile_num(j,i)]==’e’) map[tile_num(j,i)]=’ ’,end_x=j,end_y=i;
}
assert(start_x>=0 && end_x>=0);
dis_map=malloc(map_w*map_h*sizeof(*dis_map));
assert(dis_map);
return 0;
}

void showmap()
{
int i,j;
clrscr();
for (i=0;i gotoxy(1,i+1);
for (j=0;j if (map[tile_num(j,i)]!=’ ’) cprintf("O");
else cprintf(" ");
}
gotoxy(start_x+1,start_y+1);
cprintf("s");
gotoxy(end_x+1,end_y+1);
cprintf("e");
}

int main()
{
int * path;
readmap();
showmap();
getch();
path=findpath();
printpath(path);
if(dis_map) free(dis_map);
if(path) free(path);
if(map) free(map);
getch();
return 0;
}

[马伽角]

谢谢咯~~嘿嘿~~~