n个数的入栈和出栈

[ameba]

1.2...n个数，压栈次序为从小到大，出栈次序任意。有哪些种情况不能出现。
例：n=3时，全部情况为3！种
1 2 3 1压栈出栈 2压栈出栈 3压栈出栈
1 3 2 1压栈出栈 2压栈 3压栈出栈 2出栈
2 1 3 1压栈 2压栈出栈 1出栈 3压栈出栈
2 3 1 1压栈 2压栈出栈 3压栈出栈 1出栈
3 1 2
3 2 1 1压栈 2压栈 3压栈出栈 2出栈 1出栈
其中3 1 2不可能出现。
请给出n个数的模型（有多少种情况不能出现）。

[despider]

up

[BlueSky2008]

对这类题，我总结了一个方法：
设入栈序列编号为1,2,3,4...
则出栈序列中，若序号为n的元素出栈了，其后出栈的序号小于n的元素必按降序排列。
这个条件应该是充要的。

[ZhangYv]

n个数出入栈的次序实际上等同与有n个节点可以构造都少个二叉树。
答案是：有Catalan个: C(2n,n)/(n+1),则不满足条件的次序有n!-C(2n,n)/(n+1)。

[Riemann]

to BlueSky2008():
事实正如你所说的那样。

[Riemann]

to ZhangYv():
你是着算一算当n=5时正确出栈顺序的个数，在比较一下它和C(2n,n)/(n+1)的值。
你所给出的Catalan数仅仅是对不同构的树的计数，但这里的问题并不等价于求不同构的树数目。

[ZhangYv]

肯定是你错啦，你看看这个公式对于出入栈的对不对：
|- 1 n = 0;
Sn = -| n-1
|- Σ S(i)S(n-i-1) n >= 1; 解递归方程即得Catalan数,C(2n,n)/(n+1)
i=0

[Riemann]

汗，我的表达式是有问题，你的没错。

[Riemann]

对正确出栈顺序的个数，存在如下递推关系式：
f(n+1) = C(n,0)*f(n)+C(n,1)*f(n-1)+...+C(n,n-1)*f(1)+C(n,n)*f(0)
这里f(n)表示对于n个数的情况，正确出栈顺序的个数，初值条件为f(0)=1；
得到了正确的出栈顺序数，错误的用n!减之即可。

[Riemann]

C(n,k)表示从n个数中取k个数的组合数。

[kingchar]

不是catalan函數！！！

[ZhangYv]

楼上的用事实说话...

[diabloqin]

up

[azuretttc]

当然是catalan数了，而且ZHANGYV说的没错，是和二叉数的计数问题等价的，这是组合数学的经典问题！