15,440
社区成员
发帖
与我相关
我的任务
分享急救，高分相送———一个简单的数学建模问题！！
题目如下，给出合理的方案，列出方程
万分火急，务必在5月24号下午6点给出解决办法
病毒扩散与传播的控制模型
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，
病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、
扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该
人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制
参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求
1在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；
2 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000
条件3：隔离措施强度p=60%
条件4：患者2天后入院治疗，疑似
万分火急，务必在5月24号下午6点给出解决办法
病毒扩散与传播的控制模型
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，
病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、
扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该
人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制
参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求
1在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；
2 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000
条件3：隔离措施强度p=60%
条件4：患者2天后入院治疗，疑似
...全文
请发表友善的回复…
发表回复
zzaa5201314aazz 2010-06-23
- 打赏
- 举报
关于病毒扩散与传播的控制模型
摘 要
本文主要以某种传染病疫情为例，利用微分方程来研究和讨论一般传染性病毒扩散与传播的的控制模型。
模型一：针对问题一，本文在考虑人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人前提下，建立传染性病毒扩散与传播的控制模型，即控制后模型。
针对问题二，在模型一的基础上且满足问题中的四个条件要求对问题二进行模拟求解，患者人数随时间变化的曲线见图1明确标识图中的一些特殊点的具体数据，并且分析结果的合理性。
针对问题三，在问题二的基础上，对问题二的条件4作微调之后进行模拟求解具体求解见图2。
针对问题四，在问题二的基础上，对问题二的条件3作修改之后进行模拟求解，模拟结果见图3。
针对问题五，在问题二的基础上，仅对问题二的条件1改动之后进行模拟求解，模拟结果见图4。
针对问题六，在模型一的大前提下，对问题二的四个条件作单变量调整并得出模拟结果图，通过对各个结果的分析，本文得到参数对计算结果的敏感性。
针对问题七，依据如上数据，模型的求解和参数的敏感性分析，本文结合实际情况给政府部门一个建议报告。
关键词：退出率 过渡期 稳定期 控制末期 微分方程 自由带菌者
一、 问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求：
1．在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；
2． 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000
条件3：隔离措施强度p=60%
条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
3.若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？
4．若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p=40%，模拟结果有何变化？
5．若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变化？
6．分析问题中的参数对计算结果的敏感性。
7．针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。
二、问题分析
关于问题一，为了建立该病毒扩散与传播的控制模型，我们将人群分为易感人群 、疑似患者 、确诊患者 、治愈者 和死亡者。结合问题的要求，我们采用微分方程的思想建立含有两个时滞的SEIRS模型，其中，易感人群一天内人口的出入包括人口的输入、自然死亡的人数、转入疑似患者的人数、转到确诊患者的人数、疑似患者转入的人数和治愈者过了免疫期的人数；疑似患者包括由易感人群转入的人数、转入易感人群的人数（经过 天后确定没有患病离开隔离室的人数）、转入确诊患者的人数和自然死亡的人数；确诊患者包括由易感人群转入的人数、疑似患者转入的人数、治愈者、因病死亡和自然死亡的人数；治愈者包括由确诊患者转入的人数、转入易感人群的人数。问题二、问题三、问题四和问题五都是在问题一的基础上进行模型的变更求解的。
三、模型假设
1）将人群分为五类：健康者（易受感染者），用 表示；确诊病人（己被隔离的病人），用 表示；疑似病人（当日没有发病的隔离者），用 表示；退出者（包括“死亡者”和“治愈者”），用 表示；自由带菌者（没有收治的传染病患者），用 表示。
2）潜伏期为一确定常数，且由于潜伏期时间较隔离、发病到治愈或死亡时间，因此，这里不再考虑潜伏期。
3）为了计算方便，假设自由带菌者一经发现就被确定为确诊病人，而不必隔离观察；而被自由带菌者感染的人被发现必须隔离观察，即归为疑似病人；未被发现则归为自由带菌者。
4）隔离人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性。
5）根据目前的医学调查资料，传染病康复者尚未有复发情况，因为对于一个传染病康复者而言，一定时期内身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个传染病康复者二度感染传染病的概率为0，这些人既不是健康者（易受感染者），也不是病人（已感染者），他们已经退出传染体系。另外，还有一部分确诊病人由于传染病或其他并发症、自然情况等因素而死亡，他们同样也退出了传染体系，因此，模型中不予考虑。
6）人群中自由带菌者和健康者均匀混合。
四、符号约定
在这一阶段，每日自由带菌者都会感染一定数量的健康人群。他们中的一些人被医院收治，成为新增疑似患者；另一些成为新增自由带菌者。而新增确诊人数的组成则是从疑似转化而来的患者以及新增被医院收治的自由带菌者。基于上述分析，相关参数设定如下：
：疑似病人中每日被确诊人数占疑似病人总数比例
：疑似病人中每日被排除的人数占疑似病人总数比例
：每日新增被感染人群中被隔离的概率
：每日自由带菌者被确诊为病人的概率
：平均每日每隔离一个疑似患者同时会隔离健康者的人数
：健康者（易受感染者）
：确诊病人（己被隔离的病人）
：疑似病人（当日没有发病的隔离者）
：退出者（包括“死亡者”和“治愈者”）
：自由带菌者（没有收治的传染病患者）
五、模型的建立与求解
5.1模型Ⅰ
开始控制后每日现有确诊病例数目和疑似病例数目以及自由带菌者数目随时间t（单位：天）的关系是：
其中， 为初值，即为刚开始控制时的各类人群的数目。
1）
2）
3）
4） 都与政府的控制力度和公众的防范意识有关，在一定的社会环境下，可以认为是常量，可以通过相关数据统计而得。
根据官方提供的数据，对过渡期、平稳期和控制末期分别给出各个参数的估计取值：
过渡期：
平稳期：
控制末期：
5.2 问题二的求解
在模型一的基础上，我们代入数据
经查相关文献可知： 运用MATLAB软件求解（程序见附件1），得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图1 患者人数随时间变化
由图可知，首先，可能由于该传染性病毒是不完全确知的，所以在该病毒发生的初期，即前20天左右，病毒的传播速度更快。其次，随着对该传染病认识的不断深入，采取的措施及医疗水平都有所提高，因而该病毒又得到短暂的控制，另外30天后部分病人治愈出院，使的患者有所减少。然后，随着染病人数的递增，每天被传播的人数也在递增，并在第70天达到高峰，另外考虑到治愈期比较长，所以患病者又在一段时间内急剧增长（35~70天）。最后，在政府的相关隔离措施的基础上，病情终于得到控制，所以在92天该传染病最终消失。
5.3 问题三的求解
在问题二的基础上，我们把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图2 患者人数随时间的变化
与问题二进行对比可知，患者越早入院治疗，疑似患者越早被隔离，病情越早得到控制，在第86天的时候病情就已经得到了控制。
5.4 问题四的求解
在问题二的基础上，我们把隔离措施强度 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图3 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，在措施强度40%的时候，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它周期变化，但是却不能使这个传染病消除。
5.5 问题五的求解：
在问题二的基础上，把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图4 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它产生持续上升的趋势，不能使这个传染病消除。
六、传染病建议报告
随着社会的进步、卫生设施和医疗水平的改善、人类文明的不断进步，虽然诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到了有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是在较贫困的发展中国家，很可能出现传染病流行的情况。因此，找出一个能够预测并为预防和控制提供足够可靠信息的方法是人们所期望的，建立传染病数学模型可以预测、预防以及控制传染病的流行，阻止其蔓延。
传染病模型是根据传染病传播的一般机理，利用以观测到的数据，对传染病的传播规律进行模拟，从而找出他的传播方式和途径，预测在以后较短一段时间内传染病的传播程度，为有关部门提供预防这种传染病的方案，现将有关建议提供如下：
开展我国新发传染病现状调查；建立国家病原微生物和新发传染病实验室；建立以实验室为基础的传染病监测系统；加强新发传染病的诊断技术研究；开展新发传染病的发生机理和预警技术研究；积极引进在我国还没有出现、但在临近国家已经出现的新发传染病的病原学诊断技术和方法；开展有关新发传染病的群众性宣传教育工作，提高公众对新发传染病的认识及如何预防的措施和方法；建立新发传染病的专业疾病控制队伍；开展新发传染病的培训工作，使基层卫生防疫人员能够了解它的临床症状、流行病学特点、病原学特点、治疗和控制措施等。
七、灵敏度分析
本文在模型一的基础上,对问题二数据进行模拟并得出合理的结果.又在问题二的启示下相应对问题二的条件作单变量修改相继得到问题二,问题三,问题四,问题五的模拟结果图.我们通过对四张图的一一比较和分析,得到参数对计算结果的敏感性简单分析:
针对r值,由问题五的图形分析可知,当r的值越大即人群每天接触的人数越多,传染病的过渡期持续的更长,此期每天感染的人数也明显增多.稳定期的到来需要政府和卫生部门的大力控制.
针对p值,由问题四的图形分析可知,当p值越小即隔离强度减弱, 政府和卫生部门的控制强度不够,以致过渡期和稳定期延长,且过渡期每天受感染人数的相对原来p值下的要有所增多.
针对条件四的改动,患者和疑似患者发现和治理的饿越及时,稳定期就来的更早,且在过渡期每天感染的人数相对以前更少.
八、模型的评价
6.1、模型的优点
1）在考虑了传染病的规律和具体控制方法的影响后，引入了 等参数，较原指数模型对实际的模拟有了更进一步的细致刻画，能较好的预测病人的发展方向，有一定实用价值。
2）模型结构简单，可操作性强，对于其他传染病，可以套用此模型，只要根据实际情况对相应参数作出合理的调整。
3）模型的各个变量的关系明确，并且可以比较方便的得到。
4) 能够反映政府对传染病的态度和控制力度。如果可能甚至可能进一步考虑控制力度和费用的函数关系，方便政府在传染病疫情控制及成本等方面进行更好的决策。
6.2、模型的缺点
1）对传染病人口进行了简单的假设，没有考虑出生、死亡以及年龄结构对传染病疫情的影响；并且没有考虑人口的流动，这在传染病流行的初期，对数据的影响是比较大的，这只是一个控制后的模型。
2）引进的参数用了几组平均数代替，简化了模型的计算，但同时也影响了模型的精度。
3）模型的实用性是我们进行的简单推测，其切实实用性还有待进一步的验证。
九、参考资料
[1] 中国科技论文在线，http://211.68.23.123/was40/search。2009年8月7日。
[2] 姜启源 谢金星．《数学模型》［M］. 北京：高等教育出版社，2003
[3] 吴建国.数学建模案例精编.北京：中国水利水电出版社，2005
[4] 白其峥主编.数学建模案例分析 [M]. 北京：海洋出版社，2000
[5] 陈理荣主编.数学建模导论[M] 北京：北京邮电大学出版社，1999
[6] 吴翊，吴孟达，成礼智编著 .数学建模的理论与实践 [M].长沙：国防科技大学出版社，1999
[7] 周义仓 赫孝良.数学建模实验[M].出版社： 出版日期：1999 年10 月第1 版 页数：380
附件：
问题二程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.37,6.803E+006,' (12.37,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.37,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题三程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.39,6.776E+006,' (12.39,6.776E+006)','color','r')
text(80,5.165E+005,' (100,5.165E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.39,6.776E+006,'g+',100,5.165E+005,'g+')
问题四程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.4;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.12,6.802E+006,' (12.12,6.802E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.12,6.802E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题五程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=250;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.48,6.803E+006,' (12.48,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.48,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
摘 要
本文主要以某种传染病疫情为例，利用微分方程来研究和讨论一般传染性病毒扩散与传播的的控制模型。
模型一：针对问题一，本文在考虑人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人前提下，建立传染性病毒扩散与传播的控制模型，即控制后模型。
针对问题二，在模型一的基础上且满足问题中的四个条件要求对问题二进行模拟求解，患者人数随时间变化的曲线见图1明确标识图中的一些特殊点的具体数据，并且分析结果的合理性。
针对问题三，在问题二的基础上，对问题二的条件4作微调之后进行模拟求解具体求解见图2。
针对问题四，在问题二的基础上，对问题二的条件3作修改之后进行模拟求解，模拟结果见图3。
针对问题五，在问题二的基础上，仅对问题二的条件1改动之后进行模拟求解，模拟结果见图4。
针对问题六，在模型一的大前提下，对问题二的四个条件作单变量调整并得出模拟结果图，通过对各个结果的分析，本文得到参数对计算结果的敏感性。
针对问题七，依据如上数据，模型的求解和参数的敏感性分析，本文结合实际情况给政府部门一个建议报告。
关键词：退出率 过渡期 稳定期 控制末期 微分方程 自由带菌者
一、 问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求：
1．在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；
2． 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000
条件3：隔离措施强度p=60%
条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
3.若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？
4．若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p=40%，模拟结果有何变化？
5．若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变化？
6．分析问题中的参数对计算结果的敏感性。
7．针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。
二、问题分析
关于问题一，为了建立该病毒扩散与传播的控制模型，我们将人群分为易感人群 、疑似患者 、确诊患者 、治愈者 和死亡者。结合问题的要求，我们采用微分方程的思想建立含有两个时滞的SEIRS模型，其中，易感人群一天内人口的出入包括人口的输入、自然死亡的人数、转入疑似患者的人数、转到确诊患者的人数、疑似患者转入的人数和治愈者过了免疫期的人数；疑似患者包括由易感人群转入的人数、转入易感人群的人数（经过 天后确定没有患病离开隔离室的人数）、转入确诊患者的人数和自然死亡的人数；确诊患者包括由易感人群转入的人数、疑似患者转入的人数、治愈者、因病死亡和自然死亡的人数；治愈者包括由确诊患者转入的人数、转入易感人群的人数。问题二、问题三、问题四和问题五都是在问题一的基础上进行模型的变更求解的。
三、模型假设
1）将人群分为五类：健康者（易受感染者），用 表示；确诊病人（己被隔离的病人），用 表示；疑似病人（当日没有发病的隔离者），用 表示；退出者（包括“死亡者”和“治愈者”），用 表示；自由带菌者（没有收治的传染病患者），用 表示。
2）潜伏期为一确定常数，且由于潜伏期时间较隔离、发病到治愈或死亡时间，因此，这里不再考虑潜伏期。
3）为了计算方便，假设自由带菌者一经发现就被确定为确诊病人，而不必隔离观察；而被自由带菌者感染的人被发现必须隔离观察，即归为疑似病人；未被发现则归为自由带菌者。
4）隔离人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性。
5）根据目前的医学调查资料，传染病康复者尚未有复发情况，因为对于一个传染病康复者而言，一定时期内身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个传染病康复者二度感染传染病的概率为0，这些人既不是健康者（易受感染者），也不是病人（已感染者），他们已经退出传染体系。另外，还有一部分确诊病人由于传染病或其他并发症、自然情况等因素而死亡，他们同样也退出了传染体系，因此，模型中不予考虑。
6）人群中自由带菌者和健康者均匀混合。
四、符号约定
在这一阶段，每日自由带菌者都会感染一定数量的健康人群。他们中的一些人被医院收治，成为新增疑似患者；另一些成为新增自由带菌者。而新增确诊人数的组成则是从疑似转化而来的患者以及新增被医院收治的自由带菌者。基于上述分析，相关参数设定如下：
：疑似病人中每日被确诊人数占疑似病人总数比例
：疑似病人中每日被排除的人数占疑似病人总数比例
：每日新增被感染人群中被隔离的概率
：每日自由带菌者被确诊为病人的概率
：平均每日每隔离一个疑似患者同时会隔离健康者的人数
：健康者（易受感染者）
：确诊病人（己被隔离的病人）
：疑似病人（当日没有发病的隔离者）
：退出者（包括“死亡者”和“治愈者”）
：自由带菌者（没有收治的传染病患者）
五、模型的建立与求解
5.1模型Ⅰ
开始控制后每日现有确诊病例数目和疑似病例数目以及自由带菌者数目随时间t（单位：天）的关系是：
其中， 为初值，即为刚开始控制时的各类人群的数目。
1）
2）
3）
4） 都与政府的控制力度和公众的防范意识有关，在一定的社会环境下，可以认为是常量，可以通过相关数据统计而得。
根据官方提供的数据，对过渡期、平稳期和控制末期分别给出各个参数的估计取值：
过渡期：
平稳期：
控制末期：
5.2 问题二的求解
在模型一的基础上，我们代入数据
经查相关文献可知： 运用MATLAB软件求解（程序见附件1），得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图1 患者人数随时间变化
由图可知，首先，可能由于该传染性病毒是不完全确知的，所以在该病毒发生的初期，即前20天左右，病毒的传播速度更快。其次，随着对该传染病认识的不断深入，采取的措施及医疗水平都有所提高，因而该病毒又得到短暂的控制，另外30天后部分病人治愈出院，使的患者有所减少。然后，随着染病人数的递增，每天被传播的人数也在递增，并在第70天达到高峰，另外考虑到治愈期比较长，所以患病者又在一段时间内急剧增长（35~70天）。最后，在政府的相关隔离措施的基础上，病情终于得到控制，所以在92天该传染病最终消失。
5.3 问题三的求解
在问题二的基础上，我们把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图2 患者人数随时间的变化
与问题二进行对比可知，患者越早入院治疗，疑似患者越早被隔离，病情越早得到控制，在第86天的时候病情就已经得到了控制。
5.4 问题四的求解
在问题二的基础上，我们把隔离措施强度 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图3 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，在措施强度40%的时候，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它周期变化，但是却不能使这个传染病消除。
5.5 问题五的求解：
在问题二的基础上，把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图4 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它产生持续上升的趋势，不能使这个传染病消除。
六、传染病建议报告
随着社会的进步、卫生设施和医疗水平的改善、人类文明的不断进步，虽然诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到了有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是在较贫困的发展中国家，很可能出现传染病流行的情况。因此，找出一个能够预测并为预防和控制提供足够可靠信息的方法是人们所期望的，建立传染病数学模型可以预测、预防以及控制传染病的流行，阻止其蔓延。
传染病模型是根据传染病传播的一般机理，利用以观测到的数据，对传染病的传播规律进行模拟，从而找出他的传播方式和途径，预测在以后较短一段时间内传染病的传播程度，为有关部门提供预防这种传染病的方案，现将有关建议提供如下：
开展我国新发传染病现状调查；建立国家病原微生物和新发传染病实验室；建立以实验室为基础的传染病监测系统；加强新发传染病的诊断技术研究；开展新发传染病的发生机理和预警技术研究；积极引进在我国还没有出现、但在临近国家已经出现的新发传染病的病原学诊断技术和方法；开展有关新发传染病的群众性宣传教育工作，提高公众对新发传染病的认识及如何预防的措施和方法；建立新发传染病的专业疾病控制队伍；开展新发传染病的培训工作，使基层卫生防疫人员能够了解它的临床症状、流行病学特点、病原学特点、治疗和控制措施等。
七、灵敏度分析
本文在模型一的基础上,对问题二数据进行模拟并得出合理的结果.又在问题二的启示下相应对问题二的条件作单变量修改相继得到问题二,问题三,问题四,问题五的模拟结果图.我们通过对四张图的一一比较和分析,得到参数对计算结果的敏感性简单分析:
针对r值,由问题五的图形分析可知,当r的值越大即人群每天接触的人数越多,传染病的过渡期持续的更长,此期每天感染的人数也明显增多.稳定期的到来需要政府和卫生部门的大力控制.
针对p值,由问题四的图形分析可知,当p值越小即隔离强度减弱, 政府和卫生部门的控制强度不够,以致过渡期和稳定期延长,且过渡期每天受感染人数的相对原来p值下的要有所增多.
针对条件四的改动,患者和疑似患者发现和治理的饿越及时,稳定期就来的更早,且在过渡期每天感染的人数相对以前更少.
八、模型的评价
6.1、模型的优点
1）在考虑了传染病的规律和具体控制方法的影响后，引入了 等参数，较原指数模型对实际的模拟有了更进一步的细致刻画，能较好的预测病人的发展方向，有一定实用价值。
2）模型结构简单，可操作性强，对于其他传染病，可以套用此模型，只要根据实际情况对相应参数作出合理的调整。
3）模型的各个变量的关系明确，并且可以比较方便的得到。
4) 能够反映政府对传染病的态度和控制力度。如果可能甚至可能进一步考虑控制力度和费用的函数关系，方便政府在传染病疫情控制及成本等方面进行更好的决策。
6.2、模型的缺点
1）对传染病人口进行了简单的假设，没有考虑出生、死亡以及年龄结构对传染病疫情的影响；并且没有考虑人口的流动，这在传染病流行的初期，对数据的影响是比较大的，这只是一个控制后的模型。
2）引进的参数用了几组平均数代替，简化了模型的计算，但同时也影响了模型的精度。
3）模型的实用性是我们进行的简单推测，其切实实用性还有待进一步的验证。
九、参考资料
[1] 中国科技论文在线，http://211.68.23.123/was40/search。2009年8月7日。
[2] 姜启源 谢金星．《数学模型》［M］. 北京：高等教育出版社，2003
[3] 吴建国.数学建模案例精编.北京：中国水利水电出版社，2005
[4] 白其峥主编.数学建模案例分析 [M]. 北京：海洋出版社，2000
[5] 陈理荣主编.数学建模导论[M] 北京：北京邮电大学出版社，1999
[6] 吴翊，吴孟达，成礼智编著 .数学建模的理论与实践 [M].长沙：国防科技大学出版社，1999
[7] 周义仓 赫孝良.数学建模实验[M].出版社： 出版日期：1999 年10 月第1 版 页数：380
附件：
问题二程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.37,6.803E+006,' (12.37,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.37,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题三程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.39,6.776E+006,' (12.39,6.776E+006)','color','r')
text(80,5.165E+005,' (100,5.165E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.39,6.776E+006,'g+',100,5.165E+005,'g+')
问题四程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.4;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.12,6.802E+006,' (12.12,6.802E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.12,6.802E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题五程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=250;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.48,6.803E+006,' (12.48,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.48,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
zzaa5201314aazz 2010-06-23
- 打赏
- 举报
关于病毒扩散与传播的控制模型
摘 要
本文主要以某种传染病疫情为例，利用微分方程来研究和讨论一般传染性病毒扩散与传播的的控制模型。
模型一：针对问题一，本文在考虑人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人前提下，建立传染性病毒扩散与传播的控制模型，即控制后模型。
针对问题二，在模型一的基础上且满足问题中的四个条件要求对问题二进行模拟求解，患者人数随时间变化的曲线见图1明确标识图中的一些特殊点的具体数据，并且分析结果的合理性。
针对问题三，在问题二的基础上，对问题二的条件4作微调之后进行模拟求解具体求解见图2。
针对问题四，在问题二的基础上，对问题二的条件3作修改之后进行模拟求解，模拟结果见图3。
针对问题五，在问题二的基础上，仅对问题二的条件1改动之后进行模拟求解，模拟结果见图4。
针对问题六，在模型一的大前提下，对问题二的四个条件作单变量调整并得出模拟结果图，通过对各个结果的分析，本文得到参数对计算结果的敏感性。
针对问题七，依据如上数据，模型的求解和参数的敏感性分析，本文结合实际情况给政府部门一个建议报告。
关键词：退出率 过渡期 稳定期 控制末期 微分方程 自由带菌者
一、 问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求：
1．在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；
2． 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000
条件3：隔离措施强度p=60%
条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
3.若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？
4．若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p=40%，模拟结果有何变化？
5．若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变化？
6．分析问题中的参数对计算结果的敏感性。
7．针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。
二、问题分析
关于问题一，为了建立该病毒扩散与传播的控制模型，我们将人群分为易感人群 、疑似患者 、确诊患者 、治愈者 和死亡者。结合问题的要求，我们采用微分方程的思想建立含有两个时滞的SEIRS模型，其中，易感人群一天内人口的出入包括人口的输入、自然死亡的人数、转入疑似患者的人数、转到确诊患者的人数、疑似患者转入的人数和治愈者过了免疫期的人数；疑似患者包括由易感人群转入的人数、转入易感人群的人数（经过 天后确定没有患病离开隔离室的人数）、转入确诊患者的人数和自然死亡的人数；确诊患者包括由易感人群转入的人数、疑似患者转入的人数、治愈者、因病死亡和自然死亡的人数；治愈者包括由确诊患者转入的人数、转入易感人群的人数。问题二、问题三、问题四和问题五都是在问题一的基础上进行模型的变更求解的。
三、模型假设
1）将人群分为五类：健康者（易受感染者），用 表示；确诊病人（己被隔离的病人），用 表示；疑似病人（当日没有发病的隔离者），用 表示；退出者（包括“死亡者”和“治愈者”），用 表示；自由带菌者（没有收治的传染病患者），用 表示。
2）潜伏期为一确定常数，且由于潜伏期时间较隔离、发病到治愈或死亡时间，因此，这里不再考虑潜伏期。
3）为了计算方便，假设自由带菌者一经发现就被确定为确诊病人，而不必隔离观察；而被自由带菌者感染的人被发现必须隔离观察，即归为疑似病人；未被发现则归为自由带菌者。
4）隔离人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性。
5）根据目前的医学调查资料，传染病康复者尚未有复发情况，因为对于一个传染病康复者而言，一定时期内身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个传染病康复者二度感染传染病的概率为0，这些人既不是健康者（易受感染者），也不是病人（已感染者），他们已经退出传染体系。另外，还有一部分确诊病人由于传染病或其他并发症、自然情况等因素而死亡，他们同样也退出了传染体系，因此，模型中不予考虑。
6）人群中自由带菌者和健康者均匀混合。
四、符号约定
在这一阶段，每日自由带菌者都会感染一定数量的健康人群。他们中的一些人被医院收治，成为新增疑似患者；另一些成为新增自由带菌者。而新增确诊人数的组成则是从疑似转化而来的患者以及新增被医院收治的自由带菌者。基于上述分析，相关参数设定如下：
：疑似病人中每日被确诊人数占疑似病人总数比例
：疑似病人中每日被排除的人数占疑似病人总数比例
：每日新增被感染人群中被隔离的概率
：每日自由带菌者被确诊为病人的概率
：平均每日每隔离一个疑似患者同时会隔离健康者的人数
：健康者（易受感染者）
：确诊病人（己被隔离的病人）
：疑似病人（当日没有发病的隔离者）
：退出者（包括“死亡者”和“治愈者”）
：自由带菌者（没有收治的传染病患者）
五、模型的建立与求解
5.1模型Ⅰ
开始控制后每日现有确诊病例数目和疑似病例数目以及自由带菌者数目随时间t（单位：天）的关系是：
其中， 为初值，即为刚开始控制时的各类人群的数目。
1）
2）
3）
4） 都与政府的控制力度和公众的防范意识有关，在一定的社会环境下，可以认为是常量，可以通过相关数据统计而得。
根据官方提供的数据，对过渡期、平稳期和控制末期分别给出各个参数的估计取值：
过渡期：
平稳期：
控制末期：
5.2 问题二的求解
在模型一的基础上，我们代入数据
经查相关文献可知： 运用MATLAB软件求解（程序见附件1），得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图1 患者人数随时间变化
由图可知，首先，可能由于该传染性病毒是不完全确知的，所以在该病毒发生的初期，即前20天左右，病毒的传播速度更快。其次，随着对该传染病认识的不断深入，采取的措施及医疗水平都有所提高，因而该病毒又得到短暂的控制，另外30天后部分病人治愈出院，使的患者有所减少。然后，随着染病人数的递增，每天被传播的人数也在递增，并在第70天达到高峰，另外考虑到治愈期比较长，所以患病者又在一段时间内急剧增长（35~70天）。最后，在政府的相关隔离措施的基础上，病情终于得到控制，所以在92天该传染病最终消失。
5.3 问题三的求解
在问题二的基础上，我们把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图2 患者人数随时间的变化
与问题二进行对比可知，患者越早入院治疗，疑似患者越早被隔离，病情越早得到控制，在第86天的时候病情就已经得到了控制。
5.4 问题四的求解
在问题二的基础上，我们把隔离措施强度 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图3 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，在措施强度40%的时候，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它周期变化，但是却不能使这个传染病消除。
5.5 问题五的求解：
在问题二的基础上，把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图4 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它产生持续上升的趋势，不能使这个传染病消除。
六、传染病建议报告
随着社会的进步、卫生设施和医疗水平的改善、人类文明的不断进步，虽然诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到了有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是在较贫困的发展中国家，很可能出现传染病流行的情况。因此，找出一个能够预测并为预防和控制提供足够可靠信息的方法是人们所期望的，建立传染病数学模型可以预测、预防以及控制传染病的流行，阻止其蔓延。
传染病模型是根据传染病传播的一般机理，利用以观测到的数据，对传染病的传播规律进行模拟，从而找出他的传播方式和途径，预测在以后较短一段时间内传染病的传播程度，为有关部门提供预防这种传染病的方案，现将有关建议提供如下：
开展我国新发传染病现状调查；建立国家病原微生物和新发传染病实验室；建立以实验室为基础的传染病监测系统；加强新发传染病的诊断技术研究；开展新发传染病的发生机理和预警技术研究；积极引进在我国还没有出现、但在临近国家已经出现的新发传染病的病原学诊断技术和方法；开展有关新发传染病的群众性宣传教育工作，提高公众对新发传染病的认识及如何预防的措施和方法；建立新发传染病的专业疾病控制队伍；开展新发传染病的培训工作，使基层卫生防疫人员能够了解它的临床症状、流行病学特点、病原学特点、治疗和控制措施等。
七、灵敏度分析
本文在模型一的基础上,对问题二数据进行模拟并得出合理的结果.又在问题二的启示下相应对问题二的条件作单变量修改相继得到问题二,问题三,问题四,问题五的模拟结果图.我们通过对四张图的一一比较和分析,得到参数对计算结果的敏感性简单分析:
针对r值,由问题五的图形分析可知,当r的值越大即人群每天接触的人数越多,传染病的过渡期持续的更长,此期每天感染的人数也明显增多.稳定期的到来需要政府和卫生部门的大力控制.
针对p值,由问题四的图形分析可知,当p值越小即隔离强度减弱, 政府和卫生部门的控制强度不够,以致过渡期和稳定期延长,且过渡期每天受感染人数的相对原来p值下的要有所增多.
针对条件四的改动,患者和疑似患者发现和治理的饿越及时,稳定期就来的更早,且在过渡期每天感染的人数相对以前更少.
八、模型的评价
6.1、模型的优点
1）在考虑了传染病的规律和具体控制方法的影响后，引入了 等参数，较原指数模型对实际的模拟有了更进一步的细致刻画，能较好的预测病人的发展方向，有一定实用价值。
2）模型结构简单，可操作性强，对于其他传染病，可以套用此模型，只要根据实际情况对相应参数作出合理的调整。
3）模型的各个变量的关系明确，并且可以比较方便的得到。
4) 能够反映政府对传染病的态度和控制力度。如果可能甚至可能进一步考虑控制力度和费用的函数关系，方便政府在传染病疫情控制及成本等方面进行更好的决策。
6.2、模型的缺点
1）对传染病人口进行了简单的假设，没有考虑出生、死亡以及年龄结构对传染病疫情的影响；并且没有考虑人口的流动，这在传染病流行的初期，对数据的影响是比较大的，这只是一个控制后的模型。
2）引进的参数用了几组平均数代替，简化了模型的计算，但同时也影响了模型的精度。
3）模型的实用性是我们进行的简单推测，其切实实用性还有待进一步的验证。
九、参考资料
[1] 中国科技论文在线，http://211.68.23.123/was40/search。2009年8月7日。
[2] 姜启源 谢金星．《数学模型》［M］. 北京：高等教育出版社，2003
[3] 吴建国.数学建模案例精编.北京：中国水利水电出版社，2005
[4] 白其峥主编.数学建模案例分析 [M]. 北京：海洋出版社，2000
[5] 陈理荣主编.数学建模导论[M] 北京：北京邮电大学出版社，1999
[6] 吴翊，吴孟达，成礼智编著 .数学建模的理论与实践 [M].长沙：国防科技大学出版社，1999
[7] 周义仓 赫孝良.数学建模实验[M].出版社： 出版日期：1999 年10 月第1 版 页数：380
附件：
问题二程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.37,6.803E+006,' (12.37,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.37,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题三程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.39,6.776E+006,' (12.39,6.776E+006)','color','r')
text(80,5.165E+005,' (100,5.165E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.39,6.776E+006,'g+',100,5.165E+005,'g+')
问题四程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.4;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.12,6.802E+006,' (12.12,6.802E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.12,6.802E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题五程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=250;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.48,6.803E+006,' (12.48,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.48,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
摘 要
本文主要以某种传染病疫情为例，利用微分方程来研究和讨论一般传染性病毒扩散与传播的的控制模型。
模型一：针对问题一，本文在考虑人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人前提下，建立传染性病毒扩散与传播的控制模型，即控制后模型。
针对问题二，在模型一的基础上且满足问题中的四个条件要求对问题二进行模拟求解，患者人数随时间变化的曲线见图1明确标识图中的一些特殊点的具体数据，并且分析结果的合理性。
针对问题三，在问题二的基础上，对问题二的条件4作微调之后进行模拟求解具体求解见图2。
针对问题四，在问题二的基础上，对问题二的条件3作修改之后进行模拟求解，模拟结果见图3。
针对问题五，在问题二的基础上，仅对问题二的条件1改动之后进行模拟求解，模拟结果见图4。
针对问题六，在模型一的大前提下，对问题二的四个条件作单变量调整并得出模拟结果图，通过对各个结果的分析，本文得到参数对计算结果的敏感性。
针对问题七，依据如上数据，模型的求解和参数的敏感性分析，本文结合实际情况给政府部门一个建议报告。
关键词：退出率 过渡期 稳定期 控制末期 微分方程 自由带菌者
一、 问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。 要求：
1．在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型；
2． 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟
条件1：d1=1, d2=11, d3=30, r=10,
条件2：已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000
条件3：隔离措施强度p=60%
条件4：患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
3.若将2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化？
4．若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施强度p=40%，模拟结果有何变化？
5．若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，模拟结果有何变化？
6．分析问题中的参数对计算结果的敏感性。
7．针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。
二、问题分析
关于问题一，为了建立该病毒扩散与传播的控制模型，我们将人群分为易感人群 、疑似患者 、确诊患者 、治愈者 和死亡者。结合问题的要求，我们采用微分方程的思想建立含有两个时滞的SEIRS模型，其中，易感人群一天内人口的出入包括人口的输入、自然死亡的人数、转入疑似患者的人数、转到确诊患者的人数、疑似患者转入的人数和治愈者过了免疫期的人数；疑似患者包括由易感人群转入的人数、转入易感人群的人数（经过 天后确定没有患病离开隔离室的人数）、转入确诊患者的人数和自然死亡的人数；确诊患者包括由易感人群转入的人数、疑似患者转入的人数、治愈者、因病死亡和自然死亡的人数；治愈者包括由确诊患者转入的人数、转入易感人群的人数。问题二、问题三、问题四和问题五都是在问题一的基础上进行模型的变更求解的。
三、模型假设
1）将人群分为五类：健康者（易受感染者），用 表示；确诊病人（己被隔离的病人），用 表示；疑似病人（当日没有发病的隔离者），用 表示；退出者（包括“死亡者”和“治愈者”），用 表示；自由带菌者（没有收治的传染病患者），用 表示。
2）潜伏期为一确定常数，且由于潜伏期时间较隔离、发病到治愈或死亡时间，因此，这里不再考虑潜伏期。
3）为了计算方便，假设自由带菌者一经发现就被确定为确诊病人，而不必隔离观察；而被自由带菌者感染的人被发现必须隔离观察，即归为疑似病人；未被发现则归为自由带菌者。
4）隔离人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性。
5）根据目前的医学调查资料，传染病康复者尚未有复发情况，因为对于一个传染病康复者而言，一定时期内身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个传染病康复者二度感染传染病的概率为0，这些人既不是健康者（易受感染者），也不是病人（已感染者），他们已经退出传染体系。另外，还有一部分确诊病人由于传染病或其他并发症、自然情况等因素而死亡，他们同样也退出了传染体系，因此，模型中不予考虑。
6）人群中自由带菌者和健康者均匀混合。
四、符号约定
在这一阶段，每日自由带菌者都会感染一定数量的健康人群。他们中的一些人被医院收治，成为新增疑似患者；另一些成为新增自由带菌者。而新增确诊人数的组成则是从疑似转化而来的患者以及新增被医院收治的自由带菌者。基于上述分析，相关参数设定如下：
：疑似病人中每日被确诊人数占疑似病人总数比例
：疑似病人中每日被排除的人数占疑似病人总数比例
：每日新增被感染人群中被隔离的概率
：每日自由带菌者被确诊为病人的概率
：平均每日每隔离一个疑似患者同时会隔离健康者的人数
：健康者（易受感染者）
：确诊病人（己被隔离的病人）
：疑似病人（当日没有发病的隔离者）
：退出者（包括“死亡者”和“治愈者”）
：自由带菌者（没有收治的传染病患者）
五、模型的建立与求解
5.1模型Ⅰ
开始控制后每日现有确诊病例数目和疑似病例数目以及自由带菌者数目随时间t（单位：天）的关系是：
其中， 为初值，即为刚开始控制时的各类人群的数目。
1）
2）
3）
4） 都与政府的控制力度和公众的防范意识有关，在一定的社会环境下，可以认为是常量，可以通过相关数据统计而得。
根据官方提供的数据，对过渡期、平稳期和控制末期分别给出各个参数的估计取值：
过渡期：
平稳期：
控制末期：
5.2 问题二的求解
在模型一的基础上，我们代入数据
经查相关文献可知： 运用MATLAB软件求解（程序见附件1），得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图1 患者人数随时间变化
由图可知，首先，可能由于该传染性病毒是不完全确知的，所以在该病毒发生的初期，即前20天左右，病毒的传播速度更快。其次，随着对该传染病认识的不断深入，采取的措施及医疗水平都有所提高，因而该病毒又得到短暂的控制，另外30天后部分病人治愈出院，使的患者有所减少。然后，随着染病人数的递增，每天被传播的人数也在递增，并在第70天达到高峰，另外考虑到治愈期比较长，所以患病者又在一段时间内急剧增长（35~70天）。最后，在政府的相关隔离措施的基础上，病情终于得到控制，所以在92天该传染病最终消失。
5.3 问题三的求解
在问题二的基础上，我们把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图2 患者人数随时间的变化
与问题二进行对比可知，患者越早入院治疗，疑似患者越早被隔离，病情越早得到控制，在第86天的时候病情就已经得到了控制。
5.4 问题四的求解
在问题二的基础上，我们把隔离措施强度 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图3 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，在措施强度40%的时候，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它周期变化，但是却不能使这个传染病消除。
5.5 问题五的求解：
在问题二的基础上，把 改为 ，得到患者人数随时间变化的曲线图为：
图4 患者人数随时间的变化
由上图我们发现，若仅将2中的条件1改为条件：d1=1, d2=11, d3=30, r=250，，该传染病不能被控制，隔离的措施会对该传染病造成一定的影响，使它产生持续上升的趋势，不能使这个传染病消除。
六、传染病建议报告
随着社会的进步、卫生设施和医疗水平的改善、人类文明的不断进步，虽然诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到了有效的控制，但是在世界的某些地区，特别是在较贫困的发展中国家，很可能出现传染病流行的情况。因此，找出一个能够预测并为预防和控制提供足够可靠信息的方法是人们所期望的，建立传染病数学模型可以预测、预防以及控制传染病的流行，阻止其蔓延。
传染病模型是根据传染病传播的一般机理，利用以观测到的数据，对传染病的传播规律进行模拟，从而找出他的传播方式和途径，预测在以后较短一段时间内传染病的传播程度，为有关部门提供预防这种传染病的方案，现将有关建议提供如下：
开展我国新发传染病现状调查；建立国家病原微生物和新发传染病实验室；建立以实验室为基础的传染病监测系统；加强新发传染病的诊断技术研究；开展新发传染病的发生机理和预警技术研究；积极引进在我国还没有出现、但在临近国家已经出现的新发传染病的病原学诊断技术和方法；开展有关新发传染病的群众性宣传教育工作，提高公众对新发传染病的认识及如何预防的措施和方法；建立新发传染病的专业疾病控制队伍；开展新发传染病的培训工作，使基层卫生防疫人员能够了解它的临床症状、流行病学特点、病原学特点、治疗和控制措施等。
七、灵敏度分析
本文在模型一的基础上,对问题二数据进行模拟并得出合理的结果.又在问题二的启示下相应对问题二的条件作单变量修改相继得到问题二,问题三,问题四,问题五的模拟结果图.我们通过对四张图的一一比较和分析,得到参数对计算结果的敏感性简单分析:
针对r值,由问题五的图形分析可知,当r的值越大即人群每天接触的人数越多,传染病的过渡期持续的更长,此期每天感染的人数也明显增多.稳定期的到来需要政府和卫生部门的大力控制.
针对p值,由问题四的图形分析可知,当p值越小即隔离强度减弱, 政府和卫生部门的控制强度不够,以致过渡期和稳定期延长,且过渡期每天受感染人数的相对原来p值下的要有所增多.
针对条件四的改动,患者和疑似患者发现和治理的饿越及时,稳定期就来的更早,且在过渡期每天感染的人数相对以前更少.
八、模型的评价
6.1、模型的优点
1）在考虑了传染病的规律和具体控制方法的影响后，引入了 等参数，较原指数模型对实际的模拟有了更进一步的细致刻画，能较好的预测病人的发展方向，有一定实用价值。
2）模型结构简单，可操作性强，对于其他传染病，可以套用此模型，只要根据实际情况对相应参数作出合理的调整。
3）模型的各个变量的关系明确，并且可以比较方便的得到。
4) 能够反映政府对传染病的态度和控制力度。如果可能甚至可能进一步考虑控制力度和费用的函数关系，方便政府在传染病疫情控制及成本等方面进行更好的决策。
6.2、模型的缺点
1）对传染病人口进行了简单的假设，没有考虑出生、死亡以及年龄结构对传染病疫情的影响；并且没有考虑人口的流动，这在传染病流行的初期，对数据的影响是比较大的，这只是一个控制后的模型。
2）引进的参数用了几组平均数代替，简化了模型的计算，但同时也影响了模型的精度。
3）模型的实用性是我们进行的简单推测，其切实实用性还有待进一步的验证。
九、参考资料
[1] 中国科技论文在线，http://211.68.23.123/was40/search。2009年8月7日。
[2] 姜启源 谢金星．《数学模型》［M］. 北京：高等教育出版社，2003
[3] 吴建国.数学建模案例精编.北京：中国水利水电出版社，2005
[4] 白其峥主编.数学建模案例分析 [M]. 北京：海洋出版社，2000
[5] 陈理荣主编.数学建模导论[M] 北京：北京邮电大学出版社，1999
[6] 吴翊，吴孟达，成礼智编著 .数学建模的理论与实践 [M].长沙：国防科技大学出版社，1999
[7] 周义仓 赫孝良.数学建模实验[M].出版社： 出版日期：1999 年10 月第1 版 页数：380
附件：
问题二程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.37,6.803E+006,' (12.37,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.37,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题三程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=30;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.39,6.776E+006,' (12.39,6.776E+006)','color','r')
text(80,5.165E+005,' (100,5.165E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.39,6.776E+006,'g+',100,5.165E+005,'g+')
问题四程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=10;
m2=1*10.^(-11);
w=0.4;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.12,6.802E+006,' (12.12,6.802E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.12,6.802E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
问题五程序：
function x=ill(t,x)
%s1=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4) a=x(5);
m1=250;
m2=1*10.^(-11);
w=0.6;
d3=32;
d2=11;
d1=1;
x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';
s0=[10000000,500,890,0,2000];
[t,x]=ode23s(@ill,[0,100],s0)
plot(t,x( : ,3));
hold on
text(0,890,' (0,890)','color','r')
text(12.48,6.803E+006,' (12.48,6.803E+006)','color','r')
text(74,5.408E+005,' (100,5.408E+005)','color','r')
plot(0,890,'g+',12.48,6.803E+006,'g+',100,5.408E+005,'g+')
manager710 2003-05-28
- 打赏
- 举报
怎么没有人来回答呢？？？？
maojincxj 2003-05-24
- 打赏
- 举报
我记得有一本数模的书上有详细分析，
好像重庆大学的
好像重庆大学的
