有关a^2+b^2=c^2问题

[omrhal]

看到一个问题：
大家都知道勾股定理a^2+b^2=c^2；
现在讨论整数的情况，比方说有3，4，5；6，8，10；5，12，13；
谁能给出一个公式，在知道a=2n+1即a为奇数的情况下，b=？，c=？；
在a=2n时又如何？

[LeeMaRS]

定理 方程 x^2 + y^2 = z^2 的全部基本解为

(当x为奇数时)
x = m^2 - n^2
y = 2mn
z - m^2 + n^2

或

(当x为偶数时)
x = 2mn
y = m^2 - n^2
z = m^2 + n^2

其中 m 和 n 是两个互素的正整数, m > n, 并且 m + n 为奇数(即 m 和 n 一为奇数另一为偶数)

[omrhal]

楼上能不能把m和n两个变量简化一下呢。
x就用2n+1和2n表示，来推导另外的b和c呢？

[despider]

可能是这样：
a=2n+1的情况下: b=(2n+1)^2/2, c=b+1;
你给出的a=2n的情况比较特殊， 可以认为6，8，10是3，4，5的偶数倍

[wahao]

学习ing

[Riemann]

to despider():
你给的有错，b=(2n+1)^2/2不为整数。

LeeMaRS给出的正是所谓的勾股数，表示成楼主所要求的形式也很简单。
当a=2k+1时，取m=k+1, n=k, 则有b=2k(k+1), c=k^2+(k+1)^2
当a=2k时，情况比较复杂，可能会出现一些a,它并不能表示成上面勾股数公式中的2mn的形式，但是可用m^2-n^2来表示，具体如下：
1. a=2,此时找不到相应的b,c值，这很容易证明。
1. 当a=2^t(t>1)时，不存在于公式相符的表示
2. 当a=2k=(2^p)*q,q为素数且不小于3，取m为2^(p-1)与q中的较大者，n为较小者，则可得b,c
注意对讨论中2的理解，例如8，显然8，6，10满足方程，但是8不能表示成公式中的2mn的形式

[184270428]

不懂，谁能告诉我下面的必要性？先谢谢了！！！……
我知道对于：
x = m^2 - n^2
y = 2mn
z = m^2 + n^2
x,y,z是可以满足条件的一组数，但只是充分性——也就是说，这组答案有可能是问题所有答案的一个子集？

[LeeMaRS]

...这个定理的证明挺恐怖的, 如果没有必要我就不想打了...sorry...

[nhzp]

这题好像是zju的1574嘛，不过小的现在还不会做。。。

[LeeMaRS]

呵呵，despider，现在是数学描述，不是C，要表示取整总得加个[]吧。

[LeeMaRS]

hehe, 今天准备试试攻克1574

[64288]

同学，数学要学好了，才有可能完成一定的算法。他们说的算法是对的。你要证明，找一找资料。《数学源与流》里有

[despider]

b=(2n+1)^2/2当然是整数， c语法里‘/’怎么用你不会不知道吧？除非n不是整数