求sin(nx)的展开式

liangbch 2003-07-11 12:32:25
求sin(nx) (n为奇数)的通项公式,即 sinx的多项式 系数的通项公式?
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liangbch 2003-10-16
这段时间没人回贴,只好结贴了!
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WYlslrt 2003-08-15
bu hui
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HUNTON 2003-07-15
我根据 happy__888([顾问团]寻开心) 的式子去整理了一下,好象是这样的结果:
sin(2t-1)x的展开式中sinx的K次方的系数为:

E ( C[2t-1,2i-1]*C[t-i,j]*(-1)^(i+j-1) )
2i+2j-1=k,
1<=i<=t,
0<=j<=t-i
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HUNTON 2003-07-15
to happy__888([顾问团]寻开心) 你也一样啊
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寻开心 2003-07-15
To Riemann():
找到了公式的来源。
TO HUNTON
还是你有耐心,佩服!
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Riemann 2003-07-15
cos(nx)+i*sin(nx)=(cos(x)+i*sin(x))^n=cos(x)^n-C(n,2)*cos(x)^(n-2)*sin(x)^2+...+
i*(C(n,1)*cos(x)^(n-1)*sin(x)-C(n,3)*cos(x)^(n-3)*sin(x)^3+...).因此
sin(nx)=C(n,1)*cos(x)^(n-1)*sin(x)-C(n,3)*cos(x)^(n-3)*sin(x)^3+...
因为n为奇数,所以n-1,n-3,...均为偶数,以cos(x)^(n-1)为例,设n-1=2t,则cos(x)^(n-1)
=(1-sin(x)^2)^t,从而将上式化为关于sin(x)的多项式。
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寻开心 2003-07-14
虽然没有最后的公式,可以根据这个写程序计算啦。

使用E表示求和公式
N-1
sin(2N-1)X = E (C[2K-1, 2M-1] *COSX^(2K-2M) * SINx^(2M-1))
M=1

N-1 K-M
= E (C[2K-1,2M-1]) * ( E C[K-M, P]sinx^(2p)) * sinx^(2m-1))
M=1 P=1

N-1 K-M
= E E (C[2K-1,2M-1] * C[K-M,P] *SINX^(2M+2P-1))
M=1 P=1
再向下合并把公式按照SINX的指数整理出来的工作就不好玩啦
累死人不偿命的活,不干啦。
写程序自己算去吧。

要不就换思路。
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寻开心 2003-07-14
肯定是可以展开成为多项式的

C[2K-1, 2M-1] * COSX^(2K-2M) SINx^(2m-1)
= C[2K-1,2M-1] *(1-SINX^2)^(K-M)*SINX^(2M-1)
所以肯定可以展开的
要是合并起来会很麻烦的了
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liangbch 2003-07-14
sorry, hunton,你的说法是对的。 我没看清你的贴子,误将 a[n]理解成 sin(nx)了.
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liangbch 2003-07-14
1。hunton: a[1]的展开式只含有sinx不含有cosx,而a[2]的展开式为2*sinx*cosx,含有cosx.
2。该问题(求sin(nx) (n为奇数)的通项公式,即 sinx的多项式 系数的通项公式?)的条件之一是 n为奇数。当 n为奇数时,该展开式是不含cosx的. 其实从 happy__888([顾问团]寻开心) 给出的公式也很容易证明这一点。这个公式 的每一项的cosx的指数为 n-1,n-3,n-5...这些数都是偶数,根据 二项式 定理 和 cosx ^ 2=1-sinx ^2可知道,cosx 的偶数次方一定可以表式为sinx的多项式。
3。如果 happy__888([顾问团]寻开心) 愿意将这个公式进一步化简,得到更加满意的结果,我会
继续给 happy__888([顾问团]寻开心 更多的分。

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HUNTON 2003-07-14
但是,展开成只含sinx的项也是可能的啊。
因为a[n] = 2*cos2x * a[n-1] - a[n-2]
= 2*(1-2*(sinx)^2) * a[n-1] - a[n-2]
而且a[1],a[2]都可以展开成只含sinx的项,所以其它的当然也可以了。
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寻开心 2003-07-14
HUNTON()楼上的你不是让我把那个公式再写一遍吧。 :-(
我觉得楼主要的就是那个只关于sinx和cosx的展开式。
如果只可以包含sinx的话,展出的就不是多项式了吧。
多项式不应该包含指数是1/2这样的项的。
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HUNTON 2003-07-12
那就麻烦 happy__888([顾问团]寻开心) 写出来看看吧,我也很想知道这个通项公式是什么样的.
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寻开心 2003-07-11
哈。
我就是copy手边的常用的数学公式当中的内容而已。
如果都要变成sinx就把cosx的部分转换一下吧。
这个可很简单喽,不用再写一遍了吧。
这个坛子最不好的就是不让人画图写公式,太麻烦了。
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Riemann 2003-07-11
哎,这种问题!!!
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HUNTON 2003-07-11
happy__888([顾问团]寻开心)这个解应该还是不符合吧,楼主要的应该是只有sinx的多项式啊
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寻开心 2003-07-11
给你一个通项公式:

sin nx = C[n,1] cosx^(n-1) * sinx
- C[n,3] cosx^(n-3) * sinx^3
+ C[n,5] cosx^(n-5) * sinx^5
- C[n,7]
+ C[n,9]
...........

cos nx = C[n,0] cos x ^n
- C[n,2] cos x ^(n-2) * sin x^2
+ C[n,4] ...
- C[n,6] ...
..............
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寻开心 2003-07-11
HUNTON() ( )是对的
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HUNTON 2003-07-11
令a[n]=sin(2*n-1)x,则可证明
a[n] = 2*cos2x * a[n-1] - a[n-2]
= 2*(1-2*(sinx)^2) * a[n-1] - a[n-2]
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HUNTON 2003-07-11
楼上的两位看请题目了么?楼主要的是sinx的多项式的系数,不是x的多项式
例如:
sin3x=3*sinx - 4*(sinx)^3
sin5x=5*sinx - 20*(sinx)^3 + 16*(sinx)^5
sin7x=7*sinx - 56*(sinx)^3 + 112*(sinx)^5 - 64*(sinx)^7
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