一道组合数学的题目，大家帮忙解释一下吧！

[hyeena]

某机要部门安装了电子锁。M个工作人员每人发一张磁卡，卡上有开锁的密码特征。为了确保安全，规定至少要有N个人同时使用各自的磁卡才能将锁打开。现在需要你计算一下，电子锁上至少要有多少种特征，每个人的磁卡上至少有几个特征。如果特征的编号以小写英文字符表示，将每个人的磁卡的特征编号打印出来。要求输出的电子锁的总特征数最少。

[mountainlion]

建议看一下卢开澄<<组合数学>>清华大学出版社第一章的一个例子,那是一个特例,
很容易推广到你这个一般情况.

[mountainlion]

对任意N-1个人,至少缺一种特征,因此锁上的特征不小于C(M,N-1)
对任意一个员工,至少拥有其余M-1人中的任意N-1人所不具有的一种特征,也即磁卡
中至少应有C(M-1,N-1)种特征.
编码就是生成算法了,这个简单

[vldb]

任意N-1个人的组合（共有C_M^{N-1}种组合）都不能打开，说明至少缺一个特征，且所缺特征不能相同，所以电子锁的特征至少要有C_M^{N-1} +1

任何一个人，对其它M-1个人中任意N-1个人的组合，他都有一个与之相配的特征，因此，每个人至少要有C_{M-1}^{N-1}把钥匙

[hyeena]

我承认我理解能力差，楼上的，能不能再解释的详细一点啊，为什么所缺特征不能相同啊？

[Dragon132]

这个以前看过的，是箱子上锁的问题

[Dragon132]

同意 haohe(舒克) 的说法
任意N-1个人的组合（共有C_M^{N-1}种组合）都不能打开，说明至少缺一个特征，且所缺特征不能相同，所以电子锁的特征至少要有C_M^{N-1} +1

任何一个人，对其它M-1个人中任意N-1个人的组合，他都有一个与之相配的特征，因此，每个人至少要有C_{M-1}^{N-1}把钥匙

分配问题
锁数s=C(M,N-1)把
每人的钥匙数y=C(M-1,N-1)把
锁号为1，2，3……s
分配
从M个的中选出N-1个人来给号码为1的锁的钥匙
再选出不同的N-1个人来给号码为2的锁的钥匙
……
……
选出与以上都不同的N-1个人来给号码为s的锁的钥匙

[Dragon132]

上面的是错误的，改正如下

分配问题

锁数s=C(M,N-1)把
每人的钥匙数y=C(M-1,N-1)把
锁号为1，2，3……s
分配
从M个的中选出M-N+1个人来给号码为1的锁的钥匙
再选出不同的M-N+1个人来给号码为2的锁的钥匙
……
……
选出与以上都不同的M-N+1个人来给号码为s的锁的钥匙

[Riemann]

在楼主的问题下，haohe(舒克)所说的“且所缺特征不能相同”是不成立的。因为楼主只是说了“至少要有N个人同时使用各自的磁卡才能将锁打开”，就是说即使N个人在一起也可能开不了锁。

[kbsoft]

由于“至少要有N个人同时使用各自磁卡才能将锁打开”，意思就是说任意N-1个人在一起，都无法将锁打开，从而必然缺少一种开锁的密码特征A；并且在其余的M-（N-1）个人中，任意一人加入到N-1个人中，他们就能将锁打开，所以这其余的M-（N-1）个人必同时拥有密码特征A。
容易证明：每N-1个人在一起，他们缺少的一种密码特征A不能和其他一组N-1个人一起缺少的密码特征相同（否则，由于这两组至少有N个不同的人，且他们都缺少密码特征A，故这些至少N个人在一起无法将锁打开，矛盾）。
从而电子锁上特征数tot应满足:
tot>=C(m,m-n+1)
另外，对于每一个工作人员T来说，在其余M-1个人中，任选N-1个人在一起，都会因为缺少某种特征而无法开锁，而这缺少的特征必须是T所具备的。
所以每个工作人员的磁卡上的特征数per应满足: per>=C(m-1,n-1)

初始时，特征数置为1，在M个人中每选取M-N+1个人的组合，就为组合中每个工作人员配备当前特征，并将特征数+1。这样，枚举出了所有的组合后，便得出了所有工作人员磁卡上特征的方案了。

[hyeena]

怎么没人继续啊？

[Riemann]

题中并没有说N个人在一起就一定能够开锁。

[kbsoft]

TO 楼主：
必须有“任意N个人在一起都能将锁打开”这个条件，否则没发做！