关于01背包的尖锐的疑问?

[CSharp_XinBing]

动态规划方法解空间好像是以物品数(N)为横坐标, 以背包容量(M)为纵坐标形成的二维数组. 那么二维数组大小为M*N, 不知道对与不对?
如果是二叉树(决策树)的话, 解空间就是二叉树了, 节点数为2^N.
好像大家都以此为依据说, 动态规划方法比二叉树回溯方法好. 但我觉得如果是二叉树的话, 其实节点并不是2^N, 而是二叉树与M*N二维数组的交集, 即二叉树把背包容量超过M的节点都剪枝了. 如果是这样的话, 那其实二叉树的节点数要比M*N的大小要小的多. 因为M*N中有许多并不存在的节点了. 所以我想, 不论是M*N数组或是二叉树的解空间, 只要运用动态规划算法, 效率是差不多的.

另外我想问的一点是动态规划方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
在二叉树结构来看, 并不是取二个中的最大值, 正确的说法是取其中合法的一个.
因为, 二叉树中一个子节点只有一个父节点. 而他们的边要么为0(不放入), 要么为1(放入). 不存在一个父节点与一个子节点之间有二个边!
所以公式前面加max有误导之嫌, 应该改为f[i][v]=valid{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 不知道我的理解对吗?

[CSharp_XinBing]

另外哪里有01背包的类似于POJ的判卷系统, 特别是还有01背包的测试数据? 我想用测试数据来检测一样, 最好是N(物品数)特别大的.

[dhc_fy]

动态规划方法解空间好像是以物品数(N)为横坐标, 以背包容量(M)为纵坐标形成的二维数组. 那么二维数组大小为M*N, 不知道对与不对?

觉得不能这么说，M*N只是在使用备忘录方法时，通过中间过程，省去了很多重复计算得到的解空间。

[瓶盒]

这两天也在看这一问题。谈下我的收获。
对01背包问题，二叉树回溯方法是标准方法，只要剪枝方式得当，基本上能达到M*N二维数组遍历的效率。
M*N二维数组遍历的解决方式是有局限性，对M过大，N较小的实例效率较差。另外如果物体重量为小数的情况处理也较麻烦，应该需要转成整数才能处理。

另外我想问的一点是动态规划方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
在二叉树结构来看, 并不是取二个中的最大值, 正确的说法是取其中合法的一个.
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对二叉树结构来说仍是取最大值，每个父结点下面总是有两个子结点，因而是有两条边的，一条为0(不放入),
一条为1(放入).二叉树遍历的结果就是要选择出其中的一条。

[CSharp_XinBing]

对二叉树结构来说仍是取最大值，每个父结点下面总是有两个子结点，因而是有两条边的，一条为0(不放入),
一条为1(放入).二叉树遍历的结果就是要选择出其中的一条。
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嘿嘿, 我总结动态规划的实质就是: 对于每一个阶段, 求出此阶段中所有节点的值(依据上一个阶段节点). 不知道对与不对, 如果对的话, 那动态规划的话, 就要求出二个子节点的值, 因为它们是属于同一阶段的(按物品编号划分阶段).
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另外, 方程中是根据I-1阶段中的父节点去求I阶段中的子节点. 而从子节点到父节点只是一对一, 一条边的关系. 没有第二种选择的, 所以不是求最大, 而是选择"合法"的一个式子来求值. 不知道对与不对.

[瓶盒]

参照对比下两个图表：https://sites.google.com/site/bottlehe/01bei-bao-dong-tai-gui-hua-liang-zhong-jie-jue-fang-an-de-bi-jiao
可以得出结论递归方式是更有效率的方式。

[绿色夹克衫]

感觉还是不太一样,比如10个数都存在选与不选2个状态,在这1024个状态中,可能有几十个状态的和都会对应同一个数值,
使用dp的话,对这几十个数只要计算1次即可,但对于树结构,却可能同时对应着几十个节点,这些节点都不会因为剪枝而被删掉.

[iwantnon]

f[i][v]表示的是已考虑完物件1~i的取舍且剩余容量为v时的最大收益。
二叉决策树中同一层顶点对应的i是相同的。
比较二叉决策树与f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
可以看出后者是对前者相同层上v相同的节点作了合并。
因此后者节点数较少。

[iwantnon]

就一个问题而言，分支列举（即决策树）是最根本的解法，其它一切方法都只不过是在此基础上的优化，例如动态规划，就是将决策树中相同的状态节点作了一下合并--当多个相同状态节点代价值不同时，合并后的代价值取最优的那一个，这也就是bellman方程中为什么会出现max或min的原因。楼主所谓的“用二维数组”和“用树”其实没有本质区别，其实都是用树表示，因为二维数和是树，一维数组也是树。
另外，对于一个问题，构造决策树的方法是非常多的，因此对应的动态规划解法也很多，因此bellman方程作为决策树（或者动态规划方式）的数学表示，也是非常多的。树主例举的f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}只不过是其中一种（未必是最自然的一种）。
我的个人的看法是，bellman方程只是从形式上看挺不错，但价值却很低，因为多数问题用动态规划来解显得非常自然，但是却无法写出bellman方程，换句话说，bellman方程是对动态规划的一个束缚，如果抛弃bellman方程，动态规划可以解决更多的问题。只不过有时候我们为了表达起来省事儿，又恰巧问题的bellman方程很容易写，就写一下它，但实际上没有价值。

[猫已经找不回了]

不错，收藏先。

[CSharp_XinBing]

[Quote=引用 8 楼 bottlebox 的回复:]
参照对比下两个图表：https://sites.google.com/site/bottlehe/01bei-bao-dong-tai-gui-hua-liang-zhong-jie-jue-fang-an-de-bi-jiao
可以得出结论递归方式是更有效率的方式。
[/Quote]
嘿嘿, 早你怎么不出来啊. 害的我看了几天的网上文章和CSDN论坛帖子, 说的都是一样的, 搞的我头晕脑涨, 竟然没有看明白.
我和你的思路差不多, 我也是先画表格, 再画二叉树(当然我的只有三个物品的, 三个阶段). 最后在表格里连出二叉树, 才搞明白到底是怎么回事! 但是毕竟是只有三个阶段, 所以不敢确定到底阶段多了会出现什么其它的情况. 这才上来问一问. 如果BAIDU能搜索到你这样的好文章也不用我自己浪费时间了.
其实说白了, 所谓的表格就是将二叉树中同一个层次(阶段)的所有节点, 按容量大小重新排序而已! 而这个表格像是一个剪切框一样, 把伸展出去的二叉树进行了剪枝.

[CSharp_XinBing]

总的来说, 我感觉很多朋友学习算法时都是人云亦云, 没有自己的想法. 从网上的文章和帖子的内容都一样就能看不出这一点来. 没有自己的想法, 没有新意, 都是一样的. 这样对于自己学习算法我认为是不太好的, 不知道我说的对不对啊.

[瓶盒]

[Quote=引用 10 楼 CSharp_XinBing 的回复:]
嘿嘿, 早你怎么不出来啊. 害的我看了几天的网上文章和CSDN论坛帖子, 说的都是一样的, 搞的我头晕脑涨, 竟然没有看明白.
我和你的思路差不多, 我也是先画表格, 再画二叉树(当然我的只有三个物品的, 三个阶段). 最后在…
[/Quote]
呵呵，我也是看了两天网上文章才理出个头绪。
今天，实测了一下大数据的情况，发现我8楼的说法是有问题的，当节点深度上千后，如果包容量远小2^n，比如为
10000,这时前一种方法要快得多。估计这时，递归对访问过的节点虽然不再访问它的子节点，但是这样
重复访问到的父节点数量也过大了。