请教一道概率题

[allen303allen]

一个箱子里有r个红球和b个蓝球，球的个数之和是奇数。A和B一起玩一个游戏，首先A从箱子里随机取出一个球（取到每个球的概率是一样的），然后B从箱子里取出一个蓝球，依次进行下去。

当轮到B取时，箱子里没有可取的蓝球，则B获胜；如果最后一个从箱子里取出的球是蓝球，则A获胜，否则B获胜。

问：给出红球的个数r和蓝球的个数b，求A获胜的概率？



感觉应该dp，谁能详细讲一下？

[morilasi]

上代码吧。。SRM408 DIV2 1000

#include <iostream>
using namespace std;
double result=0;
double pa[1001][4000]={0};
class MarblesInABag
{
public:
	double getProbability(int red,int blue)
	{
		if(red>blue) return 0;
		else if(red>1000) return 0;
		else if(red==0) return 1;
		else if(blue==0) return 0;
		else if(pa[red][blue]) return pa[red][blue];
		else{
			double a=(double)(red)/(double)(red+blue);
			double b=(double)(blue)/(double)(red+blue);
			pa[red][blue]=a*getProbability(red-1,blue-1)+b*getProbability(red,blue-2);
			return pa[red][blue];
			}
	}
};

当a>b时，最后一个一定不是蓝球
当ａ>1000时，概率很小。。可以忽略。

[keaiting]

提问37楼，不明白 return (f(r-1, b-1)*r+f(r, b-2)*b)/(r+b);这一句的意思。
我用r=2,b=3自己的方法计算了一下：
B赢有两种情况：最后两个是蓝，红，总共有：C_3^1*C_2^1*C_2^1*A_2^2=24种方法（C_3^1表示的是组合）
最后两个是红，红，总共有：A_3^3*A_2^2=12种方法
然后所有的排列情况是：（2+3）！=120种。
所以B赢的概率是：（24+12）/120=0.3，
A赢的概率是：0.7。
和你的结论不一样。



[Quote=引用 37 楼 tian428 的回复:]
C/C++ codedouble f(int r, int b)
{
if(r>b)
return 0;
if(r==0)
return 1;
return (f(r-1, b-1)*r+f(r, b-2)*b)/(r+b);
}



写成递归代码貌似就几行...
测试
[tian@localhost ctest]$ ./a.out 10 3
0.000000
[tian@localhost ctest]$ ./a.out 3 10
0.207792
[tian@localhost ctest]$ ./a.out 1 2
0.333333
[tian@localhost ctest]$ ./a.…
[/Quote]

[haoweishow01]

高数据结构，概率也要学好啊。。。。

[arong1234]

You are right. 我以为是A，B都随机取呢

[Quote=引用 47 楼 chenchangxiong 的回复:]
引用 34 楼 arong1234 的回复:
你的算法肯定错的
lz的题目是首先A从箱子里随机取出一个球（取到每个球的概率是一样的），然后B从箱子里取出一个蓝球
b是取蓝球 而不是随机取球
比如有4个红球 3个篮球 无论如何B必输

[/Quote]

[arong1234]

假定A获胜的概率是P(r,b)为简化推导，令P(r,b) =0, if r<0 or b<0
则
1. P(0,1) = 0
2. P(1,0) = 1
3. P(1,2) = 1/2
4. P(r,b) = P(r-1,b-1)/2 + P(r,b-2)/2

－－第一部分代表A首先取走一个红球的概率，后者代表A先取一个篮球的概率

P(r,b) = P(r-1,b-1)/2 + P(r,b-2)/2
= P(r-2,b-2)/4 + P(r-1,b-3)/4 + P(r-1,b-3)/4 + P(r,b-4)/4
= P(r-2,b-2)/4 + P(r-1,b-3)/2 + P(r,b-4)

经过N轮迭代后，显然结果是这样的
P(r,b)是P(r-m,b-n)的一个线性和，且m+n=2N,m从0到N, n从N到2N，各项的系数是(1/2+1/2)^N的二项式展开各项
因此P(r,b)的第N次展开为
P(r,b) = 2^(-N) sum(n=0...,N, C(N,n)*P(r-n,b-2N+n))

[瓶盒]

尝试了一下，如果球数过大，动态建表比递归方式效率高得多。
#define MAXRED 4011
#define MAXBLUE 8010
double f[MAXRED][MAXBLUE]={0};
double TabSelectBall(int redBall, int blueBall)//返回A获胜的概率
{
int i,j;
for(j=1;j<=blueBall;j++)//所有红球为0的情况，概率为1
f[0][j]=1.0;
for(i=1;i<=redBall;i++)
for(j=0;j<i;j++)
f[i][j]=0.0;
for(int i=1;i<=redBall;i++)
for(int j=i+1;j<=blueBall;j+=2)//蓝球数必须要大于红球数才不为0,
f[i][j]=(f[i-1][j-1]*i+f[i][j-2]*j)/(i+j);
return f[redBall][blueBall];
};

[chenchangxiong]

[Quote=引用 34 楼 arong1234 的回复:]
实际上我还把它做复杂了，根据

"当轮到B取时，箱子里没有可取的蓝球，则B获胜；如果最后一个从箱子里取出的球是蓝球，则A获胜，否则B获胜。"

B获胜必然结论是最后一个球为红色，而A获胜的必然结果就是最后一个球是蓝色。因此A获胜概率其实是b/(r+b)，B获胜的概率r/(r+b)

回到我原来做法，
a) 总的排法是(r+b)!/r!/b!
b) 最后两个一蓝一红的方法有(r+b-2)!/(r-1)!/(b-1)!, 最后两个红色情况有(r+b-2)!/b!/(r-2)!
因此…
[/Quote]
你的算法肯定错的
lz的题目是首先A从箱子里随机取出一个球（取到每个球的概率是一样的），然后B从箱子里取出一个蓝球
b是取蓝球 而不是随机取球
比如有4个红球 3个篮球 无论如何B必输

[chenchangxiong]

比如有4个红球 3个篮球 无论如何B必输
错了 B必赢 呵呵 看错看错

[chenchangxiong]

假设A取一次再B取一次为一步
假设剩下r个红球，q个篮球，一步操作后，可能有2种情况剩下r-1个红球 q-1个篮球
或者 剩下r个红球，q-2个篮球
第一种概率为r/(r+q)，第二种为q/(r+q)

现在若剩下x个红球，y个篮球，则可知它可能从x+1个红球，y+1个篮球进行一步操作来，也可能从
x个红球，y+2个篮球来，概率计算公式为
p(x,y) = (x+1)/(x+y+2) p(x+1，y+1) + (y+2)/(x+y+2) p(x,y+2)............(1)

可得伪代码如下：
p[r, s] = {0}；
p(r,s) = 1;
AWin = 0；
for(int i = 1; i < max(r/2, s/2); i++)
{
for(j = 0; j <= i; j++) //这个可以用2个堆栈来操作优化
{
由公式（1）计算p(r - j, q - 2*i +j)，注意p(x,y)若x,y不在r,s范围内，p(x,y)为0；
}
}
AWin = p(0,1);

[瓶盒]

不错的问题，支持37楼，就是过于简洁，自已不动手写下很难理解。

[iwantnon]

各位的数据到底达成一致了没有？
这个题目的结果到底是多少？

[iwantnon]

[Quote=引用楼主 allen303allen 的帖子:]
一个箱子里有r个红球和b个蓝球，球的个数之和是奇数。A和B一起玩一个游戏，首先A从箱子里随机取出一个球（取到每个球的概率是一样的），然后B从箱子里取出一个蓝球，依次进行下去。
当轮到B取时，箱子里没有可取的蓝球，则B获胜；如果最后一个从箱子里取出的球是蓝球，则A获胜，否则B获胜。
问：给出红球的个数r和蓝球的个数b，求A获胜的概率？
感觉应该dp，谁能详细讲一下？
[/Quote]
用p(r,b,A)表示状态“箱子里有r个红球，b个蓝球，且轮到A取”出现的概率。
用p(r,b,B)表示状态“箱子里有r个红球，b个蓝球，且轮到B取”出现的概率。
那么递推式：
p(r,b,A)=p(r,b+1,B)
p(r,b,B)=(r+1)/(r+1+b)*p(r+1,b,A)+(b+1)/(r+b+1)*p(r,b+1,A)
另外根据红字部分知，所求目标为：
...下课了，我晚上再接着写！！

[iwantnon]

接楼要求A胜的概率，而A获胜当且仅当最后一个拿走的球是蓝球，即如下两种情况：
(0,1,A)
(0,1,B)
所以所求概率为：P=p(0,1,A)+p(0,1,B)
另外假设最初状态为r=m,b=n，A先拿，则有初始条件：
p(m,n,A)=1
综上述，完整公式为：

初始：p(m,n,A)=1
递推：
p(r,b,A)=p(r,b+1,B)
p(r,b,B)=(r+1)/(r+1+b)*p(r+1,b,A)+(b+1)/(r+b+1)*p(r,b+1,A) 
目标:P=p(0,1,A)+p(0,1,B)

[iwantnon]

公式怎么没出来？？
完整公式为：
初始：p(m,n,A)=1
递推：
p(r,b,A)=p(r,b+1,B)
p(r,b,B)=(r+1)/(r+1+b)*p(r+1,b,A)+(b+1)/(r+b+1)*p(r,b+1,A)
目标:P=p(0,1,A)+p(0,1,B)

[kdjqssl]

红球：r
蓝球: b

r>b: 概率为0。
r<b:
若要A胜利，最后一个必须是蓝球，也就是说，前面拿 r+b-1 一个球中有 b-1 个蓝球和 r个红球.
此时A、B各拿球数是(r+b-1)/2. B拿的全部都是蓝球。那么：A拿 r 个红球和 (r-b-1)/2个蓝球。
(r+b-1)/2 中有 r个红球的 C [r][(r+b-1)/2] 也就是(r+b-1)/2)! / r!( b-r-1)/2)!种情况，这里是获胜的拿法。
而A总的拿法是从(r+b-1)/2 +1 个中拿(r-b-1)/2 + 1 个蓝球和r个红球：C [r][(r+b+1)/2],也就是
(r+b+1)/2)! / r!( b-r+1)/2)!

所以A获胜的概率是 C [r][(r+b-1)/2] / C [r][(r+b+1)/2] = (b-r+1)/(b+r+1) = 1- 2r/(b+r+1)

因为B固定拿蓝色的，所以不用考虑B的情况。只要知道B拿了(r+b-1)/2个蓝球就行。
就只要讨论A的情况了 A拿(r+b-1)/2 +1 个球 要想 最后一个篮球，就是前面(r+b-1)/2必须只能拿(r-b-1)/2个。
获胜的拿法 / 总的拿法 = 获胜概率

[iwantnon]

http://topic.csdn.net/u/20090524/15/485d92e2-759e-496c-8725-fab7862ab5d2.html

[over301]

不错的帖子

[yuandong300]

好帖子，非常值得学习

[jdtxse]

学习之

[chadguo]

最后一个从箱子里取出的球是蓝球，则A获胜----这是A获胜的条件；由于r和b的和为奇数，所以r不等于b，则有r>b,r<b两种情况，如果r>b，即使A一直取红球最后取到的球也不可能是蓝球，所以A获胜的情况只有是r<b；在r<b的情况下，r和b的和为奇数也说明最后一个取球的人是A，要保证A最后取到的是蓝球，就是要在前r+b-1次取球中取到了r个红球，这种情况好像与概率论中的一个经典例题很相似，就是那个什么次品、良品的吧，具体记不得了