问一个关于无向图的子图的算法

[kurokawa]

问题是这样：已知一个无向图。
现从图中选取若干个顶点，构成一个连通子图（若无法构成则可以再添加顶点）。要求添加最少的顶点构成连通子图，并返回子图。

只要思路就行了，或者有相似的问题的帖子链接给我也好，期待各位的帮忙

[allen303allen]

如果全都自己选取的话，那任意一个点或者两个相邻的点都是原无向图的连通子图吧。
那题目的意思是不是给定一个无向图和给定的几个点，要在这些点的基础上自己加顶点构成一个连通子图？

我觉得可以先求出这个无向图的各个连通分量，即最大连通子图，如果这些给定的点不在同一个连通子图内的话，那就肯定不存在所求的连通子图。如果存在，就在该最大连通子图的基础上，枚举不在给定点范围内的其他顶点，如果去掉该顶点后图形仍然连通，就去掉该顶点，到无法再去掉顶点的时候，所得的连通子图就是要求的连通子图，多出来的顶点就是要加上的最少的顶点。

[kurokawa]

恩，题目的意思就是给定一个无向图，和该图上的若干顶点，尝试加入最少顶点构造一个连通子图。
现在追加一点：一开始给的无向图就是全连通的，所以可以省去算最大连通子图的步骤。

1楼的方法，在“顶点很多，选取的点很少”时，效率会受影响吧？

有没有从给定的点向外推算的方法？(每个顶点是一个对象，可以获得与它相邻的顶点)
如果需要，我可以在初始化无向图的时候，在每个顶点对象里面存储它到其他所有顶点的最短路径。这样每次构造子图的时候效率会不会高？

我希望能有一个高效的算法。

[绿色夹克衫]

全连通的意思是强连通？

如果强连通的话，就不用加点了。

2个点的话,应该可以转化为最短路径的问题。
2个点以上，印象中有多项式解法，具体记不太清了，谁让咱图论不行呢！
明天有空的话，帮LZ查查！

[kurokawa]

[Quote=引用 3 楼 litaoye 的回复:]
全连通的意思是强连通？

如果强连通的话，就不用加点了。

2个点的话,应该可以转化为最短路径的问题。
2个点以上，印象中有多项式解法，具体记不太清了，谁让咱图论不行呢！
明天有空的话，帮LZ查查！
[/Quote]

强连通是任意两点可直达，全连通是任意两点可达，如果我的理解错误，请BS我的数据结构老师……
多项式解法啊，我去查查，谢谢你！

[绿色夹克衫]

呵呵,不用BS你的数据结构老师，直接BS我就行，我基础不扎实，有些概念经常弄混。

不知是否可以转为最小费用最大流的问题？

[Quote=引用 4 楼 kurokawa 的回复:]
引用 3 楼 litaoye 的回复:
全连通的意思是强连通？

如果强连通的话，就不用加点了。

2个点的话,应该可以转化为最短路径的问题。
2个点以上，印象中有多项式解法，具体记不太清了，谁让咱图论不行呢！
明天有空的话，帮LZ查查！


强连通是任意两点可直达，全连通是任意两点可达，如果我的理解错误，请BS我的数据结构老师……
多项式解法啊，我去查查，谢谢你！
[/Quote]

[kurokawa]

[Quote=引用 5 楼 litaoye 的回复:]
呵呵,不用BS你的数据结构老师，直接BS我就行，我基础不扎实，有些概念经常弄混。

不知是否可以转为最小费用最大流的问题？
[/Quote]

我对算法研究不深，刚去查了一下最小费用最大流问，感觉好像那样更复杂化了……

[绿色夹克衫]

其实如果真能达到1楼所说的效率,那么应该算是一个还不错的方法,不过1楼所给的方法所求的解依赖于节点删除的顺序,
因此有很大可能得不到最优解。如果找不到什么有效的办法的话，这题求最优解恐怕计算量会是指数级的！

[Quote=引用 6 楼 kurokawa 的回复:]
引用 5 楼 litaoye 的回复:
呵呵,不用BS你的数据结构老师，直接BS我就行，我基础不扎实，有些概念经常弄混。

不知是否可以转为最小费用最大流的问题？


我对算法研究不深，刚去查了一下最小费用最大流问，感觉好像那样更复杂化了……
[/Quote]

[allen303allen]

你的图应该是无权的，那所谓的到其他顶点的最短距离就是中间经过的顶点数吧。因为要考虑到具体经过的顶点跟原顶点间的关系，还是要遍历顶点，所以我认为记录顶点间的最短距离不会有太大的帮助。

[Quote=引用 2 楼 kurokawa 的回复:]
恩，题目的意思就是给定一个无向图，和该图上的若干顶点，尝试加入最少顶点构造一个连通子图。
现在追加一点：一开始给的无向图就是全连通的，所以可以省去算最大连通子图的步骤。

1楼的方法，在“顶点很多，选取的点很少”时，效率会受影响吧？

有没有从给定的点向外推算的方法？(每个顶点是一个对象，可以获得与它相邻的顶点)
如果需要，我可以在初始化无向图的时候，在每个顶点对象里面存储它到其他所有顶点的最短…
[/Quote]

[allen303allen]

我的方法其实要反复循环直到出现无法删除的情况，如果原来图的连通情况比较好的话，节点间彼此依赖不大，效率应该可以不错。最坏情况就很难说了。
如果这个题从局部去考虑的话有点像NP的最小顶点覆盖了。貌似也可以用近似算法，但是要最优解的话暂时没想到 好的算法。这几天有点忙，都没时间来看贴了。
[Quote=引用 7 楼 litaoye 的回复:]
其实如果真能达到1楼所说的效率,那么应该算是一个还不错的方法,不过1楼所给的方法所求的解依赖于节点删除的顺序,
因此有很大可能得不到最优解。如果找不到什么有效的办法的话，这题求最优解恐怕计算量会是指数级的！

引用 6 楼 kurokawa 的回复:
引用 5 楼 litaoye 的回复:
呵呵,不用BS你的数据结构老师，直接BS我就行，我基础不扎实，有些概念经常弄混。

不知是否可以转为最小费用最大流的问题？


我对算法研…
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[kurokawa]

[Quote=引用 9 楼 allen303allen 的回复:]
我的方法其实要反复循环直到出现无法删除的情况，如果原来图的连通情况比较好的话，节点间彼此依赖不大，效率应该可以不错。最坏情况就很难说了。
如果这个题从局部去考虑的话有点像NP的最小顶点覆盖了。貌似也可以用近似算法，但是要最优解的话暂时没想到 好的算法。这几天有点忙，都没时间来看贴了。 [/Quote]

呵呵，后来我考虑了一下，正如7楼所说，这个受删除点的顺序影响。
举例来说，最后的解除了最优解以外还有别的解。那么如果第一步就删除了最优解中的一个点，还是可以得到联通子图，但却不是最优解。

苦恼啊，我想了好几天也还是没好的思路……

[lvjaio5241]

学习

[kurokawa]

时间紧张，先用删点法处理了，虽然不是最优解，不过至少解里面没有冗余，时间复杂度也还可以接受。

这个算法是用在数据库里面的，就是在两个任意的数据表中间补全一些表，建立起关联条件。一般来说数据表也有百余个，效率上不是很慢。

结贴散分，谢谢大家参与。