i/2^i 的求和公式

ironlee 2009-06-27 01:54:59

i=1,2,3,...n 1/2+2/4+3/8.....+i/2^i = ?

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arong1234 2009-06-27

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我还是20年前学的呢
[Quote=引用 2 楼 ironlee 的回复:]
谢谢了，好久没学了，忘了。
[/Quote]

ironlee 2009-06-27

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谢谢了，好久没学了，忘了。

arong1234 2009-06-27

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令S(n) = 1/2+2/4+3/8.....+n/2^n
则2S(n) = 1 + 2/2 +3/4+...+ n/2^(n-1)
计算2S(n) - S(n) ，把2S(n)的1单独拿出来，把S(n)的最后一项单独拿出来，可以得到
2S(n) -S(n) = 1 + 1/2 + 1/4+ 1/8+ ... + 1/2^(n-1) - n/2^n
很显然，除了最后一项，前面是一个等比数列
所以S(n) = 2S(n) - S(n) = (1-1/2^n)/(1-1/2) - n/2^n

这不是非常常见的数列求和方法么？楼主这都不会

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在高中的时候，我们就已经知道但是我们并不知道i ^ 4 ， i ^ 5...的求和公式。今天在组合数学中学习了查分序列，这些求和公式就会计算了。如下：其中( n) (m) 代表的是从n中选取m的方法数。是高中时的C(n, m) 只要是n的多项式都可以算。

证明函数的∑i=ni=0i2=n(2n+1)(n+1)6\sum_{i=0}^{i=n}i^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}用差分方程解释： y(n)−y(n−1)=n2y(n)-y(n-1)=n^2 y(n−1)−y(n−2)=(n−1)2y(n-1)-y(n-2)=(n-1)^2 y(n−2)−y(n−3)=(n−2)2y(n-2)-y(n-3)=(n-2)^2 ….