不定基进制

[kongl123]

在一般的进制中，一个数X可以唯一地被分解为a[1]*b^k + a[2]*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0。现在问有没有这样一种运算集，对一个整数的子集，它的每个元素Y能而且只能被唯一地分解为一种像这样的形式：a[1]*b[1]+a[2]*b[2]...+a[k]*b[k]，其中b是一组预先确定的数字，且当n!=m时,有b[n]!=b[m]? 如果有，如何算出一组b的解；这个子集相对整数集的疏密度如何；怎么找出一组b的解，使得这个子集更加稠密？

[daidodo]

考虑用质数分解，那么b[m]与b[n]必须包含不用的质数因子。

[kongl123]

是可以考虑质数，但不只是质数这么简单。先就简单的说，当b只用两个元素时:Y=a1*b1+a2*b2，那么有a1*b1 != a2*b2（不然有多种分解结果）。但当变数a1为b2的合数时，不论b1,b2为何值，其不等式可以不成立，这样，这个数集要在整数的基础上减掉a因子中包含基b中的因子时的所有元素，所以，当b很小时，要删去的元素很多，使这个数集很稀疏；不然当b很大时，a*b本身就很稀疏。在计算机中，用确定位长的整数表示这个集合时，其元素个数很有限。当b的元素更多时，它的疏密度就更稀疏了。要怎么解决这个问题呢？

[fire_woods]

一个数X可以唯一地被分解为a[1]*b^k + a[2]*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

其实并不是唯一的.你可以分解成(a[1]-1)*b^k + (a[2]+b)*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

对于进制分解,要求a[i]<b;

楼主的想法里面,对a[i]的约束是什么呢?

[绿色夹克衫]

Y = a1*b1 + a2*b2 可以用欧几里得扩展来解，只存在有解同无解的差别。有解的话，解会是无限多个。
Y = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 的解会更稠密，不会稀疏。

[Quote=引用 2 楼 kongl123 的回复:]
是可以考虑质数，但不只是质数这么简单。先就简单的说，当b只用两个元素时:Y=a1*b1+a2*b2，那么有a1*b1 != a2*b2（不然有多种分解结果）。但当变数a1为b2的合数时，不论b1,b2为何值，其不等式可以不成立，这样，这个数集要在整数的基础上减掉a因子中包含基b中的因子时的所有元素，所以，当b很小时，要删去的元素很多，使这个数集很稀疏；不然当b很大时，a*b本身就很稀疏。在计算机中，用确定位长的整数表示这个集合时，其元素个数…
[/Quote]

[kongl123]

[Quote=引用 3 楼 fire_woods 的回复:]
一个数X可以唯一地被分解为a[1]*b^k + a[2]*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

其实并不是唯一的.你可以分解成(a[1]-1)*b^k + (a[2]+b)*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

对于进制分解,要求a[i] <b;

楼主的想法里面,对a[i]的约束是什么呢?
[/Quote]

你考虑的是实数，但对一个数的分解来说一般是指整数分解，我的意思也是基于整数的

[kongl123]

[Quote=引用 2 楼 kongl123 的回复:]
是可以考虑质数，但不只是质数这么简单。先就简单的说，当b只用两个元素时:Y=a1*b1+a2*b2，那么有a1*b1 != a2*b2（不然有多种分解结果）。但当变数a1为b2的合数时，不论b1,b2为何值，其不等式可以不成立，这样，这个数集要在整数的基础上减掉a因子中包含基b中的因子时的所有元素，所以，当b很小时，要删去的元素很多，使这个数集很稀疏；不然当b很大时，a*b本身就很稀疏。在计算机中，用确定位长的整数表示这个集合时，其元素个数…
[/Quote]

我对a没有要求，前面说的都是基于唯一这个要求推出来的

[kongl123]

引用都错的，不好意思，第一次用哈哈！

[fire_woods]

哦,原来如此.

[fire_woods]

b是一维的时候有解,其他的均无解.

二维的话
假设Y = a1*b1 + a2*b2 是一个解
那么Y=(a1-b2)*b1+(a2+b1)*b2也是一个解
当然可以构造出无穷多个解来.
更高维也是一样的.

[fire_woods]

[Quote=引用 5 楼 kongl123 的回复:]
引用 3 楼 fire_woods 的回复:
一个数X可以唯一地被分解为a[1]*b^k + a[2]*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

其实并不是唯一的.你可以分解成(a[1]-1)*b^k + (a[2]+b)*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

对于进制分解,要求a[i] <b;

楼主的想法里面,对a[i]的约束是什么呢?



你考虑的是实数，但对一个数的分解来说一般是指整数分解，我的意思也是基于整数的
[/Quote]

说的都是整数来着.

[kongl123]

[Quote=引用 8 楼 fire_woods 的回复:]
引用 5 楼 kongl123 的回复:
引用 3 楼 fire_woods 的回复:
一个数X可以唯一地被分解为a[1]*b^k + a[2]*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

其实并不是唯一的.你可以分解成(a[1]-1)*b^k + (a[2]+b)*b^(k-1)...+a[k+1]*b^0

对于进制分解,要求a[i] <b;

楼主的想法里面,对a[i]的约束是什么呢?


你考虑的是实数，但对一个数的分解来说一般是指整数分解，我的意思也是基于整数的



说的都是整数来着.
[/Quote]

是的，我引用错了。我本来的意思是说4楼的欧几里得算法，它的系数可以是实数。
你说的k进制的分解不唯一是指系数可以超过基大小，我一开始的意思是指进制展开，所以系数是0-k，是我没说清。
我问的问题中对系数是没有要求的，只要是整数，而且对一个数Y只有唯一一组系数在确定的基b下是它的一个分解。

[fire_woods]

提供一组解.
b[] = {1}
对所有整数都有唯一解.
对于b元素大于一个的,无法覆盖整个整数集合.

[kongl123]

1的确是一组解。
如果说b是k维向量，那怎么样？能否存在一种构造方法？因为实际中我需要的b的维数至少是32

[fire_woods]

如果是实数域,b是k维向量的话,对应的问题实际上是一个求矩阵秩的问题.

整数域太复杂了,说不清楚.
不过b = {[1,0...0], [0,1,...0]...[0,0...,1]}
依然是一组全覆盖的基向量.

[chuengchuenghq]

UP

[kongl123]

[Quote=引用 12 楼 fire_woods 的回复:]
如果是实数域,b是k维向量的话,对应的问题实际上是一个求矩阵秩的问题.

整数域太复杂了,说不清楚.
不过b = {[1,0...0], [0,1,...0]...[0,0...,1]}
依然是一组全覆盖的基向量.
[/Quote]

b = {[1,0...0], [0,1,...0]...[0,0...,1]} 不能保证a是唯一解吧

[kongl123]

我说的k维是指b有k个元素，但Y是一维的，就是Y是a和b的点积。