求解一算法题~~~要求考虑效率

[Java2King]

有这样一个函数f(n)，对于任意正整数n，它表示从 0 到 n 之间出现“1”的个数，
比如 f(1)=1, f(13)=6, 请列出从 1 到 1234567890 中所有的 f(n) = n的n,要求准确快速.

[ddyouyue]

import java.util.regex.Matcher;
import java.util.regex.Pattern;
public class NumCount{
int num;
int total=0;
public NumCount(int num){
this.num=num;
}
public int getTotal(){
Pattern p=Pattern.compile("1");
if(num<=0)
return 0;
else{
for(int i=1;i<=num;i++){
Matcher match=p.matcher(String.valueOf(i));
while(match.find()){
total++;
}
}
return total;
}
}

public static void main (String[] args) {
NumCount t=new NumCount(111);
System.out.println ("1的个数："+t.getTotal());
}
}

[ddyouyue]

这个是数字计算的
import java.lang.Math;
public class NumCount{
private int num;
private int total=0;
public NumCount(int num){
this.num=num;
}
public int getTotal(){
if(num<=0)
return 0;
else{
for(int i=1;i<=num;i++){
int tem=i;
String str=String.valueOf(i);
int len=str.length();
for(int j=len-1;j>=0;j--){
if((int)(tem/(int)Math.pow(10,j))==1)
total++;
if(j+1>1){
tem=tem%((int)Math.pow(10,(j==0)?1:j));
}
}
}
return total;
}
}
public static void main (String[] args) {
NumCount n=new NumCount(21);
System.out.println ("1的个数："+n.getTotal());
}
}

[bigbug9002]

这题有人问过,当时有人给了一个算法,我当时没有看懂.时间复杂度我记得是这个数的位数.

[ddyouyue]

学习了...

[Java2King]

3,4楼两个算法速度都不行~
n值可能很大 比如1234567890，

for(int i=1;i <=n;i++)出现这句肯定不正确

[Java2King]

相信很多人都能立刻得出以下的解法：

for(n:N)

{

判断n包含1的个数；

累加计数器；

}

这是最直接的解法，但遗憾的是，时间复杂程度为O(N*logN)。因为还需要循环判断当前的n的各位数，该判断的时间复杂程度为O(logN)。

接下来就应该思考效率更高的解法了。说实话，这道题让我想起另外一道简单的算法题：

N为正整数，计算从1到N的整数和。

很多人都采用了循环求解。然后利用初等数学知识就知道S=N*(N+1)/2，所以用O(1)的时间就可以处理。

再回到本道题目，同理应该去寻找到结果R与N之间的映射关系。

分析如下：

假设N表示为a[n]a[n-1]...a[1]，其中a[i](1<=i<=n)表示N的各位数上的数字。

c[i]表示从整数1到整数a[i]...a[1]中包含数字1的个数。

x[i]表示从整数1到10^i - 1中包含数字1的个数，例如，x[1]表示从1到9的个数，结果为1；x[2]表示从1到99的个数，结果为20；

当a[1]=0时，c[1] = 0;

当a[1]=1时，c[1] = 1;

当a[1]>1时，c[1] = 1;



当a[2]=1时，c[2] = a[1] +1+ c[1] + x[1];

当a[2]>1时，c[2] = a[2]*x[1]+c[1]+10;



当a[3]=1时，c[3] = a[2]*a[1] +1+ c[2] + x[2];

当a[3]>1时，c[3] = a[3]*x[2]+c[2]+10^2;

......



以此类推

当a[i]=1时，c[i] = a[i-1]*...*a[1] +1+ c[i-1]+x[i-1];

当a[i]>1时，c[i] = a[i]x[i-1]+c[i-1]+10^(i-1);





实现的代码如下：

Java代码

public static int search(int _n)      
{      
    int N = _n/10;      
    int a1 = _n%10,a2;      
    int x = 1;   
    int ten = 10;   
    int c = a1 == 0?0:1;   
    while(N > 0)      
    {      
        a2 = N%10;   
        if(a2 == 0);   
        else if(a2 == 1)c = a1 + 1 + x + c;      
        else c = a2*x + c + ten;      
        a1 = 10*a1 + a2;        
        N /=10;      
        x = 10*x + ten;   
        ten *= 10;    
    }      
    return c;      
}  

    public static int search(int _n)   
    {   
        int N = _n/10;   
        int a1 = _n%10,a2;   
        int x = 1;
        int ten = 10;
        int c = a1 == 0?0:1;
        while(N > 0)   
        {   
            a2 = N%10;
            if(a2 == 0);
            else if(a2 == 1)c = a1 + 1 + x + c;   
            else c = a2*x + c + ten;   
            a1 = 10*a1 + a2;     
            N /=10;   
            x = 10*x + ten;
            ten *= 10; 
        }   
        return c;   
    } 

而以上解法的时间复杂程度只有O(logN)

[绿野耕夫]

帮楼主顶！！！

[yangyunzhao]

7楼强人

[guo56560058]

7楼不错。学习了。谢过

[thor_lee]

这种肯定不能暴力破解 或者说暴力破解只是第一步，下一步应该是在暴力破解的基础上找出可以优化的地方，如果不行就要考虑其他的算法了……

[IniY0_0]

这个是《编程之美》上面的一个题目，能发现一个规律F(123)=个位出现1的次数+十位上出现1的次数+百位上出现1的次数＝13+20+24＝57.

[南哥1207]

这个都是数学上的问题，普通解法就是循环，而要讲究时间复杂程度的话，一定需要高等数学作为基础，这也是我们成为算法高手的障碍。

[superjava000]

学习

[核动力蜗牛Killua]

学习了...

[cool326236882]

看了算法才明白！我数学系的数学不怎么样啊！

[核动力蜗牛Killua]

学习了

[j8daxue]

老题,去年金山招实习的第一题

[zhanghua_1228]

[Quote=引用 13 楼 IniY0_0 的回复:]
这个是《编程之美》上面的一个题目，能发现一个规律F(123)=个位出现1的次数+十位上出现1的次数+百位上出现1的次数＝13+20+24＝57.
[/Quote]

这个好
总结了下
1234 中的十位的个数：十位3> 1 ;(12 + 1) * 10
百位的个数：百位2> 1; (1 + 1) * 100
个位的个数: 个位4>1; (123 + 1) *1
千位的个数: 千位1 ; 234 + 1
等于 130 + 200 + 124 + 235 =....
这样应该是最快的

[cnxjs]

看不懂，在学习...

[Java2King]

这题考的完全是数学功底