共线线段求交

liaomingxue none 服务器端工程师  2009-07-16 01:55:55
设有若干共线线段:[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]
其中:si表示线段起点,ei表示线段终点,si,ei都在一条直线上(同一条坐标轴),ei>si
给出判断算法A,算法输入是[s0,e0][s1,e1]...[sn,en],输出是true(没有任何两条线段相交)或者false(有某两条线段相交)

我目前的算法A:

遍历两两线段:[si,ei][sj,ej]
若:[(si+ei)/2-(sj+ej)/2]*[(si+ei)/2-(sj+ej)/2]<=[(ei-si)+(ej-sj)]*[(ei-si)+(ej-sj)]/4
则返回false。
即若两条线段的中点差的平方大于两条线段的长度和一半的平方,则不相交。

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方法1:要是线段最大值小的话,可以开一个数组标记[-max,+max],当然这个只适合小的时候

方法2:排序,可以考虑按照起点排序,或者按照中点排序

方法3:线段树或树状数组,这个显然是最快的(对大量的数据来说),编程难度大点就是了

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shex4 2009-07-21
我来说点不同的东西。

我觉得可以把这个问题转化为一个permutation是否存在逆序对的问题。

简单点说,假设所有起始点Si i=1 to n, 都在直线L上。 所有终止点Ei i = 1 to n 都在直线R上。
可以给L上的断点从上到下(或从左到右,反正顺着一个方向)编号,那么在L上,这n个点可以用
(123...n)这个permutation来表示。 在R上我们也可以给n个终点从上到下编号1....n。

注意,线段 (Si Ei)两个端点的编号可能不同。考虑函数 F: {1...n} to {1...n},
其中 F(i) = index of Ei。 那么我们可以考虑( F(1)F(2)...F(n))这样一个permutation。

我们可以利用合并排序的思想报告出所有逆序对,线段i 和 j 相交 当且仅当 ( F(1)F(2)...F(n))中
存在(i,j)逆序对。


好了,以上讲的比较抽象。简单例子:
两条直线相交。那么在L上 端点编号为 1,2 (1在2上方)。在R上,两条线段交叉换位,所以 F(1)=2, F(2) = 1
换句话说 F(1) 在 F(2)下方。 这里 F(1) = E1, F(2) = E2 . 1 = S1, 2 = S2。

那么(F(1)F(2))这个permutation = (21) ---> 一个逆序对。

我这个方法可以在 O( nlgn )时间内报告出所有相交直线对。


不知道对不对,欢迎大家指正。

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shex4 2009-07-21
我题目意思看错了。不过这依然可以转化为逆序对的问题。至于不等式的方法,没想过复杂度。
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fire_woods 2009-07-21
对于固定数据,一个不等式就够.

对于不固定数据,n个不够,估计需要O(n*n)个.
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donkey301 2009-07-21
[Quote=引用 4 楼 liaomingxue 的回复:]
其实,我的目的不是这个算法,而是想找一组不等式,满足这组不等式,则没有线段相交
当然,这组不等式要求:
1 数量少
2 最好为线性不等式

并且,我现在有m组共线线段集合,那么最后有m组这样的不等式,所以我还希望m组这样的不等式中的所有不等式都是相互独立的,没有下面这种形式的不等式:
if(f(x)>0 && f(x) <f(y)) then return false
[/Quote]
不知道怎么用线性不等式,我只能想到用(Sj-ei)(Si-ej) < 0来判断不相交。
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liaomingxue 2009-07-16
简单点说吧,如果有共线线段集合[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]
要求给出一组不等式f1,f2,...,fn
若不等式能同时满足,则这组共线线段集合中没有任何两条线段相交,所给出的不等式要求:

1 数量少
2 最好为线性不等式
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liaomingxue 2009-07-16
其实,我的目的不是这个算法,而是想找一组不等式,满足这组不等式,则没有线段相交
当然,这组不等式要求:
1 数量少
2 最好为线性不等式

并且,我现在有m组共线线段集合,那么最后有m组这样的不等式,所以我还希望m组这样的不等式中的所有不等式都是相互独立的,没有下面这种形式的不等式:
if(f(x)>0 && f(x)<f(y)) then return false
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丈八涯 2009-07-16
按s由小到达排序,比较ei与si+k的大小(k = 1,2,...),如果ei小于si+k不相交,否则相交.
当第一个不相交出现,则进行下一个ei+2的判断.
直到遍历完最后一个线段.
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丈八涯 2009-07-16
[Quote=引用 1 楼 g_idea 的回复:]
按s降序排序,比较ei与si的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
[/Quote]
按s降序排序,比较ei与si+1的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
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丈八涯 2009-07-16
按s降序排序,比较ei与si的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
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