共线线段求交

[liaomingxue]

设有若干共线线段：[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]
其中：si表示线段起点，ei表示线段终点，si,ei都在一条直线上（同一条坐标轴），ei>si
给出判断算法A，算法输入是[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]，输出是true(没有任何两条线段相交)或者false(有某两条线段相交)

我目前的算法A：

遍历两两线段：[si,ei][sj,ej]
若：[(si+ei)/2-(sj+ej)/2]*[(si+ei)/2-(sj+ej)/2]<=[(ei-si)+(ej-sj)]*[(ei-si)+(ej-sj)]/4
则返回false。
即若两条线段的中点差的平方大于两条线段的长度和一半的平方，则不相交。

[丈八涯]

按s降序排序,比较ei与si的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.

[丈八涯]

[Quote=引用 1 楼 g_idea 的回复:]
按s降序排序,比较ei与si的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
[/Quote]
按s降序排序,比较ei与si+1的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.

[丈八涯]

按s由小到达排序,比较ei与si+k的大小(k = 1,2,...),如果ei小于si+k不相交,否则相交.
当第一个不相交出现,则进行下一个ei+2的判断.
直到遍历完最后一个线段.

[liaomingxue]

其实，我的目的不是这个算法，而是想找一组不等式，满足这组不等式，则没有线段相交
当然，这组不等式要求：
1 数量少
2 最好为线性不等式

并且，我现在有m组共线线段集合，那么最后有m组这样的不等式，所以我还希望m组这样的不等式中的所有不等式都是相互独立的，没有下面这种形式的不等式：
if(f(x)>0 && f(x)<f(y)) then return false

[liaomingxue]

简单点说吧，如果有共线线段集合[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]
要求给出一组不等式f1,f2,...,fn
若不等式能同时满足，则这组共线线段集合中没有任何两条线段相交，所给出的不等式要求：

1 数量少
2 最好为线性不等式

[donkey301]

[Quote=引用 4 楼 liaomingxue 的回复:]
其实，我的目的不是这个算法，而是想找一组不等式，满足这组不等式，则没有线段相交
当然，这组不等式要求：
1 数量少
2 最好为线性不等式

并且，我现在有m组共线线段集合，那么最后有m组这样的不等式，所以我还希望m组这样的不等式中的所有不等式都是相互独立的，没有下面这种形式的不等式：
if(f(x)>0 && f(x) <f(y)) then return false
[/Quote]
不知道怎么用线性不等式，我只能想到用(Sj-ei)(Si-ej) < 0来判断不相交。

[fire_woods]

对于固定数据,一个不等式就够.

对于不固定数据,n个不够,估计需要O(n*n)个.

[shex4]

我题目意思看错了。不过这依然可以转化为逆序对的问题。至于不等式的方法，没想过复杂度。

[shex4]

我来说点不同的东西。

我觉得可以把这个问题转化为一个permutation是否存在逆序对的问题。

简单点说，假设所有起始点Si i=1 to n, 都在直线L上。 所有终止点Ei i = 1 to n 都在直线R上。
可以给L上的断点从上到下（或从左到右，反正顺着一个方向）编号，那么在L上，这n个点可以用
（123...n）这个permutation来表示。 在R上我们也可以给n个终点从上到下编号1....n。

注意，线段 (Si Ei)两个端点的编号可能不同。考虑函数 F: {1...n} to {1...n}，
其中 F(i) = index of Ei。 那么我们可以考虑( F(1)F(2)...F(n))这样一个permutation。

我们可以利用合并排序的思想报告出所有逆序对，线段i 和 j 相交 当且仅当 ( F(1)F(2)...F(n))中
存在（i,j）逆序对。


好了，以上讲的比较抽象。简单例子：
两条直线相交。那么在L上 端点编号为 1,2 (1在2上方)。在R上，两条线段交叉换位，所以 F(1)=2, F(2) = 1
换句话说 F(1) 在 F(2)下方。 这里 F(1) = E1, F(2) = E2 . 1 = S1， 2 = S2。

那么(F(1)F(2))这个permutation = (21) ---> 一个逆序对。

我这个方法可以在 O（ nlgn )时间内报告出所有相交直线对。

不知道对不对，欢迎大家指正。

[核动力蜗牛Killua]

方法1:要是线段最大值小的话，可以开一个数组标记[-max,+max]，当然这个只适合小的时候

方法2:排序，可以考虑按照起点排序，或者按照中点排序

方法3:线段树或树状数组，这个显然是最快的（对大量的数据来说），编程难度大点就是了