共线线段求交

liaomingxue 2009-07-16 01:55:55
设有若干共线线段:[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]
其中:si表示线段起点,ei表示线段终点,si,ei都在一条直线上(同一条坐标轴),ei>si
给出判断算法A,算法输入是[s0,e0][s1,e1]...[sn,en],输出是true(没有任何两条线段相交)或者false(有某两条线段相交)

我目前的算法A:

遍历两两线段:[si,ei][sj,ej]
若:[(si+ei)/2-(sj+ej)/2]*[(si+ei)/2-(sj+ej)/2]<=[(ei-si)+(ej-sj)]*[(ei-si)+(ej-sj)]/4
则返回false。
即若两条线段的中点差的平方大于两条线段的长度和一半的平方,则不相交。

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方法1:要是线段最大值小的话,可以开一个数组标记[-max,+max],当然这个只适合小的时候

方法2:排序,可以考虑按照起点排序,或者按照中点排序

方法3:线段树或树状数组,这个显然是最快的(对大量的数据来说),编程难度大点就是了

shex4 2009-07-21
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我来说点不同的东西。

我觉得可以把这个问题转化为一个permutation是否存在逆序对的问题。

简单点说,假设所有起始点Si i=1 to n, 都在直线L上。 所有终止点Ei i = 1 to n 都在直线R上。
可以给L上的断点从上到下(或从左到右,反正顺着一个方向)编号,那么在L上,这n个点可以用
(123...n)这个permutation来表示。 在R上我们也可以给n个终点从上到下编号1....n。

注意,线段 (Si Ei)两个端点的编号可能不同。考虑函数 F: {1...n} to {1...n},
其中 F(i) = index of Ei。 那么我们可以考虑( F(1)F(2)...F(n))这样一个permutation。

我们可以利用合并排序的思想报告出所有逆序对,线段i 和 j 相交 当且仅当 ( F(1)F(2)...F(n))中
存在(i,j)逆序对。


好了,以上讲的比较抽象。简单例子:
两条直线相交。那么在L上 端点编号为 1,2 (1在2上方)。在R上,两条线段交叉换位,所以 F(1)=2, F(2) = 1
换句话说 F(1) 在 F(2)下方。 这里 F(1) = E1, F(2) = E2 . 1 = S1, 2 = S2。

那么(F(1)F(2))这个permutation = (21) ---> 一个逆序对。

我这个方法可以在 O( nlgn )时间内报告出所有相交直线对。


不知道对不对,欢迎大家指正。

shex4 2009-07-21
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我题目意思看错了。不过这依然可以转化为逆序对的问题。至于不等式的方法,没想过复杂度。
fire_woods 2009-07-21
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对于固定数据,一个不等式就够.

对于不固定数据,n个不够,估计需要O(n*n)个.
donkey301 2009-07-21
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[Quote=引用 4 楼 liaomingxue 的回复:]
其实,我的目的不是这个算法,而是想找一组不等式,满足这组不等式,则没有线段相交
当然,这组不等式要求:
1 数量少
2 最好为线性不等式

并且,我现在有m组共线线段集合,那么最后有m组这样的不等式,所以我还希望m组这样的不等式中的所有不等式都是相互独立的,没有下面这种形式的不等式:
if(f(x)>0 && f(x) <f(y)) then return false
[/Quote]
不知道怎么用线性不等式,我只能想到用(Sj-ei)(Si-ej) < 0来判断不相交。
liaomingxue 2009-07-16
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简单点说吧,如果有共线线段集合[s0,e0][s1,e1]...[sn,en]
要求给出一组不等式f1,f2,...,fn
若不等式能同时满足,则这组共线线段集合中没有任何两条线段相交,所给出的不等式要求:

1 数量少
2 最好为线性不等式
liaomingxue 2009-07-16
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其实,我的目的不是这个算法,而是想找一组不等式,满足这组不等式,则没有线段相交
当然,这组不等式要求:
1 数量少
2 最好为线性不等式

并且,我现在有m组共线线段集合,那么最后有m组这样的不等式,所以我还希望m组这样的不等式中的所有不等式都是相互独立的,没有下面这种形式的不等式:
if(f(x)>0 && f(x)<f(y)) then return false
丈八涯 2009-07-16
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按s由小到达排序,比较ei与si+k的大小(k = 1,2,...),如果ei小于si+k不相交,否则相交.
当第一个不相交出现,则进行下一个ei+2的判断.
直到遍历完最后一个线段.
丈八涯 2009-07-16
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[Quote=引用 1 楼 g_idea 的回复:]
按s降序排序,比较ei与si的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
[/Quote]
按s降序排序,比较ei与si+1的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
丈八涯 2009-07-16
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按s降序排序,比较ei与si的大小,如果ei小于si不相交,否则相交.
㈠ 点的基本运算 1. 平面上两点之间距离 1 2. 判断两点是否重合 1 3. 矢量叉乘 1 4. 矢量点乘 2 5. 判断点是否在线段上 2 6. 求一点饶某点旋转后的坐标 2 7. 求矢量夹角 2 ㈡ 线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系 3 2. 求点到线段所在直线垂线的垂足 4 3. 点到线段的最近点 4 4. 点到线段所在直线的距离 4 5. 点到折线集的最近距离 4 6. 判断圆是否在多边形内 5 7. 求矢量夹角余弦 5 8. 求线段之间的夹角 5 9. 判断线段是否相交 6 10.判断线段是否相交但不交在端点处 6 11.求线段所在直线的方程 6 12.求直线的斜率 7 13.求直线的倾斜角 7 14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断两条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 7 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断多边形是否凸多边形 9 4. 求多边形面积 9 5. 判断多边形顶点的排列方向,方法一 10 6. 判断多边形顶点的排列方向,方法二 10 7. 射线法判断点是否在多边形内 10 8. 判断点是否在凸多边形内 11 9. 寻找点集的graham算法 12 10.寻找点集凸包的卷包裹法 13 11.判断线段是否在多边形内 14 12.求简单多边形的重心 15 13.求凸多边形的重心 17 14.求肯定在给定多边形内的一个点 17 15.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 18 16.判断多边形的核是否存在 19 ㈣ 圆的基本运算 1 .点是否在圆内 20 2 .求不共线的三点所确定的圆 21 ㈤ 矩形的基本运算 1.已知矩形三点坐标,求第4点坐标 22 ㈥ 常用算法的描述 22 ㈦ 补充 1.两圆关系: 24 2.判断圆是否在矩形内: 24 3.点到平面的距离: 25 4.点是否在直线同侧: 25 5.镜面反射线: 25 6.矩形包含: 26 7.两圆交点: 27 8.两圆公共面积: 28 9. 圆和直线关系: 29 10. 内切圆: 30 11. 求切点: 31 12. 线段的左右旋: 31
㈠ 点的基本运算 1. 平面上两点之间距离 2. 判断两点是否重合 3. 矢量叉乘 4. 矢量点乘 5. 判断点是否在线段上 6. 求一点饶某点旋转后的坐标 7. 求矢量夹角 ㈡ 线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系 2. 求点到线段所在直线垂线的垂足 3. 点到线段的最近点 4. 点到线段所在直线的距离 5. 点到折线集的最近距离 6. 判断圆是否在多边形内 7. 求矢量夹角余弦 8. 求线段之间的夹角 9. 判断线段是否相交 10.判断线段是否相交但不交在端点处 11.求线段所在直线的方程 12.求直线的斜率 13.求直线的倾斜角 14.求点关于某直线的对称点 15.判断两条直线是否相交及求直线交点 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 2. 检查多边形顶点的凸凹性 3. 判断多边形是否凸多边形 4. 求多边形面积 5. 判断多边形顶点的排列方向,方法一 6. 判断多边形顶点的排列方向,方法二 7. 射线法判断点是否在多边形内 8. 判断点是否在凸多边形内 9. 寻找点集的graham算法 10.寻找点集凸包的卷包裹法 11.判断线段是否在多边形内 12.求简单多边形的重心 13.求凸多边形的重心 14.求肯定在给定多边形内的一个点 15.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 16.判断多边形的核是否存在 ㈣ 圆的基本运算 1 .点是否在圆内 2 .求不共线的三点所确定的圆 ㈤ 矩形的基本运算 1.已知矩形三点坐标,求第4点坐标 ㈥ 常用算法的描述 ㈦ 补充 1.两圆关系 2.判断圆是否在矩形内 3.点到平面的距离 4.点是否在直线同侧 5.镜面反射线 6.矩形包含 7.两圆交点 8.两圆公共面积 9. 圆和直线关系 10. 内切圆 11. 求切点 12. 线段的左右旋 13.公式

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