数据拟合问题

[fallening]

假设现在要拟合一个角度a (pi>a>=0)，已经得知的信息是a的N(N=1, 2, 3, ..., 10)倍角的正切的估计

tan(a) = A1
tan(2a)=A2
tan(3a)=A3
...
tan(10a)=A10

假设这些估计的误差服从同一个正态分布，并且其权值为W1, W2, W3, ..., W10

试问如何估计出a的数值？

[arong1234]

什么叫“正态分布”的权值？
基本思想就是先对A1,A2,..A10的反正切，然后根据
ka = atan(Ak)进行最小二乘拟合

但是加上你所谓的“正态分布”的权值，就不知道怎么搞了，从来没听说过这个概念

[fallening]

可能是我的表述有问题
我所谓的“误差服从同一个正态分布”，是指这10个数值的估计的误差服从同一个分布

tan(a) = A1
tan(2a)=A2
tan(3a)=A3
...
tan(10a)=A10

所谓的权值，是指这10个正切的估计，在整个拟合过程中，其相对重要性分别是W1, W2, ... W10

打个比方说
如果一个3岁的小孩子说看到了一条两头蛇的可信度权值为1的话，一个30岁的大人这样说可信度的权值可能高达10

[fallening]

[Quote=引用 1 楼 arong1234 的回复:]
什么叫“正态分布”的权值？
基本思想就是先对A1,A2,..A10的反正切，然后根据
ka = atan(Ak)进行最小二乘拟合

但是加上你所谓的“正态分布”的权值，就不知道怎么搞了，从来没听说过这个概念

[/Quote]
根据
ka = atan(Ak)
是不对的，因为正切曲线有一个令人恼火的性质是 pi 周期问题

就是说，应当是ka = n*pi + atan(Ak)，而这里这个n是很难搞定的

[arong1234]

如果你的函数的参数是一个任意区间内的函数，是没法拟合的
带误差的拟合能做出来的只有很少的几种情况，不是什么东西都可以拟合的
[Quote=引用 3 楼 fallening 的回复:]
引用 1 楼 arong1234 的回复:
什么叫“正态分布”的权值？
基本思想就是先对A1,A2,..A10的反正切，然后根据
ka = atan(Ak)进行最小二乘拟合

但是加上你所谓的“正态分布”的权值，就不知道怎么搞了，从来没听说过这个概念



根据
ka = atan(Ak)
是不对的，因为正切曲线有一个令人恼火的性质是 pi 周期问题

就是说，应当是ka = n*pi + atan(Ak)，而这里这个n是很难搞定的
[/Quote]

[fallening]

a是限制在[0,pi)之内的，同样ka被限制在[0,k*pi)之内，我想到用枚举的方法做拟合，取残差最小的作为最佳结果，不过这样要处理10!种情形，实在太多了

[arong1234]

残差最小对于你这种题目根本没有唯一解，因此我估计是不可能的，还是想别的办法吧
首先要确保有唯一解吧
[Quote=引用 5 楼 fallening 的回复:]
a是限制在[0,pi)之内的，同样ka被限制在[0,k*pi)之内，我想到用枚举的方法做拟合，取残差最小的作为最佳结果，不过这样要处理10!种情形，实在太多了
[/Quote]

[arong1234]

A1,A2,...,A10不是同一采样条件下获得数据，他们是不同角度的正切值，根据他们求你的u,p是不可能的
而且，即使你求出u,p对于楼主的题目也是毫无用处的，人家目的在于求a
[Quote=引用 7 楼 donkey301 的回复:]
说一下我的想法，没细想，供你参考：
假设a的精确值是x,
那么由正态分布
可以得到：
A1-tan(x)满足一个正态分布
f1=exp(-(A1-tan(x)-u)^2/p^2);
A2-tan(2x)...
...
那么x满足的一个概率分布为：
f= w1*exp(-(A1-tan(x)-u)^2/p^2)+w2*exp(-(A2-tan(2x)-u)^2/p^2)+....，x in [0, pi)
0, x is not in [0, pi)
求出这个分布的平均值应该就可以了。
u, p 如果不知道可以用A1..A10近似求出。
[/Quote]

[donkey301]

说一下我的想法，没细想，供你参考：
假设a的精确值是x,
那么由正态分布
可以得到：
A1-tan(x)满足一个正态分布
f1=exp(-(A1-tan(x)-u)^2/p^2);
A2-tan(2x)...
...
那么x满足的一个概率分布为：
f= w1*exp(-(A1-tan(x)-u)^2/p^2)+w2*exp(-(A2-tan(2x)-u)^2/p^2)+....，x in [0, pi)
0, x is not in [0, pi)
求出这个分布的平均值应该就可以了。
u, p 如果不知道可以用A1..A10近似求出。

[fallening]

谢谢楼上两位的讨论
暂且结贴了：）
我再想下别的办法。

[kingrain213]

请问你们都做出来了么？我也在做正切曲线拟合这块，但不会接方程组，最小二乘无法求结果，有哪位高手有高见么？给 我说说 [e-mail]