对偶问题

[wenxiu880]

对偶规则
原问题一般模型： 对偶问题一般模型：
maxZ=CX min ω=Yb
AX ≤b YA ≥C
X ≥0 Y ≥0
 原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量
 原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件
 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项
 原问题的右端项对应对偶问题的价值系数
 原问题的技术系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵
 原问题的约束条件与对偶问题方向相反
 原问题与对偶问题优化方向相反
原（对偶）问题 对偶（原）问题
目标函数 max min 目标函数
约束条件 ≤ ≥ = ≥
≤
无约束 变量
变量符号 ≥
≤
无约束 ≥
≤ = 约束条件
对偶规则简捷记法
 原问题标准则对偶问题标准
 原问题不标准则对偶问题不标准
 例题2 max ω=7y1+4y2-2y3
minZ=3x1+2x2-6x3+x5 2y1+ y2- y3 ≤3
2x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7 y1 +3y3 ≤2
x1+ 2x3 -x4 ≤ 4 -4y1+ 2y2 ≤-6
-x1+3x2 -x4+ x5 =-2 y1 -y2 -y3 ≥ 0
x1，x2，x3 ≥0; 3y1 +y3 = 1
x4 ≤ 0; x5无限制 y1 ≥ 0 y2 ≤ 0 y3 无约束
对偶问题的基本性质
 对称性：对偶问题的对偶问题是原问题
 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标函数值，不大于其对偶问题任意可行解的目标函数值 (鞍型图)
 无界性：原问题无界，对偶问题无可行解
 对偶定理：若一个问题有最优解，则另一问题也有最优解，且目标函数值相等。若原问题最优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1
对偶最优解的经济解释—影子价格
1、问题：
• 若例1中该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否做出抉择。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首先要弄清两个问题：
 ①合理安排生产能取得多大利润?
 ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
第二个问题：出让定价
• 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3
• 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有
y1+0y2+3y3≥ 3
• 同理，对乙产品而言，则有
0y1+2y2+4y3≥ 5
• 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值）
minw=8y1+12y2+36y3
• 显然还有
y1，y2，y3≥0
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2
x1 ≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
minw =8y1+12y2+36y3
y1+ 0y2+ 3y3≥ 3
0y1+ 2y2+ 4y3≥ 5
y1，y2，y3≥0
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =42
• 两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为线性规划原问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。
• 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基变量的检验数的负值。
二、对偶问题的经济解释


• 这说明yi是右端项bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献。
• 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
 若原问题的价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。
 若原问题的价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。
特别注意
• 影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。
• 对资源i总存量的评估：购进 or 出让
• 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少
①它表明了当前的资源配置状况，告诉经营者应当优先增加何种资源，才能获利更多。
②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。
③提示设备出租或原材料转让的基价。
④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。
⑤借助影子价格进行内部核算。

[dashan1990]

顶一下。。占个沙发。。