给大家出道奥数题！

[w309245927]

装错信封问题：

共有n封信与n个信封一一对应,问：这些信装在信封中，全部装错的结果共有几种？

——高中奥林匹克数学辅导题

[KingWolfOfSky]

哇擦擦，这个高中时候我看过~~
伯努利-欧拉装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

假设n个元素错位排列的总数为f(n)
其中某个元素A排到B所在的位置时，B有两种情况：
1、B排到A，那么剩下n-2个元素有f(n-2)种排法
2、B排到除A、B以外的其它元素的位置，那么也就是说除去A，
剩下n-1个元素有f(n-1)种排法
所以A排到B的位置时一共有f(n-1)+f(n-2)种排法
又因为A的位置一共有B、C、D....等等一共n-1种选择
所以f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]
这是一个递推式，并且初值条件是容易得到的：
即 f(1)=0,f(2)=1
f(n)的通项公式可以用级数的形式表示：
f(n)=n![∑((-1)^n)/n!] (n>2)

[KingWolfOfSky]

[猫已经找不回了]

jpkc.njau.edu.cn/gltj/fd/fd1.doc

隐约记得以前的概率书上有的。

[tkminigame]

进来学习的！

[librarylibrary]

[Quote=引用 3 楼 KingWolfOfSky 的回复:]
哇擦擦，这个高中时候我看过~~
伯努利-欧拉装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

假设n个元素错位排列的总数为f(n)
其中某个元素A排到B所在的位置时，B有两种情况：
1、B排到A，那么剩下n-2个元素有f(n-2)种排法
2、B排到除A、B以外的其它元素的位置，那么也就是说除去A，
剩下n-1个元素有f(n-1)种排法
所以A排到B的位置时一共有f(n-1)+f(n-2)种排法
又因为A的位置一共有B、C、D...…
[/Quote]
正解~~
顶~~

[ToBeTough]

同上

[jlp999]

举例算了一下，n为5时：4*4*3*1，认为应为：((n-1)*(n-1)!)/2

[LeonTown]

mark

[贝隆]

顶

[Rock_And_Roll]

变懒了，脑子不思考了。
排列组合问题啊

[LeonTown]

3楼的应该是正解。
up

[henry11]

學習

[绿色夹克衫]

用n!/e 可以得到很好的近似值。这题以前讨论过！

[happypeter2008]

学习

[mmmcd]

基础问题，随便找本组合数学书上都有。

[hua_zhixing_]

啊，暂时没心情。

[Super.Jiju]

[Quote=引用 3 楼 KingWolfOfSky 的回复:]
哇擦擦，这个高中时候我看过~~
伯努利-欧拉装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

假设n个元素错位排列的总数为f(n)
其中某个元素A排到B所在的位置时，B有两种情况：
1、B排到A，那么剩下n-2个元素有f(n-2)种排法
2、B排到除A、B以外的其它元素的位置，那么也就是说除去A，
剩下n-1个元素有f(n-1)种排法
所以A排到B的位置时一共有f(n-1)+f(n-2)种排法
又因为A的位置一共有B、C、D...…
[/Quote]

赞，很不错

[starwakeup]

奥数题....

[juggernaut620]

n!-(n-1)!+(n-2)!.....到1

[btchenh]

[Quote=引用 3 楼 kingwolfofsky 的回复:]
假设n个元素错位排列的总数为f(n)
其中某个元素A排到B所在的位置时，B有两种情况：
1、B排到A，那么剩下n-2个元素有f(n-2)种排法
2、B排到除A、B以外的其它元素的位置，那么也就是说除去A，
剩下n-1个元素有f(n-1)种排法
所以A排到B的位置时一共有f(n-1)+f(n-2)种排法
又因为A的位置一共有B、C、D....等等一共n-1种选择
所以f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]
[/Quote]

没看明白，在第2种情况里，“除去A，剩下n-1个元素有f(n-1)种排法”，这里面不就包括了第1种情况里面的f(n-1)种排法吗？那把f(n-1)+f(n-2)不就重复计算了吗？