求一个递推公式 （hook formula）

[alphaxiang]

这里高人很多，小弟向大家请教一个递推公式是如何得来的！
题目背景是这样的：n^2个不同高度的人前后排成n排n列，每排n人，要求每列后面的比前面高，每排左边的比右边的高，问总共能有多少满足要求的种排法。
问题更一般的情形是在正整数n的所有拆分的Ferrers图的n个格里填上1～n之间的数，满足每行从左到右递增，每列从下到上递增。求n的满足要求的填充方案数F(n）。
比如一个3的满足要求的填充方案有： 1 2 3 2 3
1 3 1 2

已知F（n）满足递推公式：F(n)=F(n-1)+(n-1)*F(n-2)
这个问题叫做hook formula, F(n）有一个公式可求，但关于它的证明大都有好几页，而且都是英文。小弟希望大家讨论讨论这个公式是怎么推出来的。小弟先谢过大家了！

[alphaxiang]

呵呵，感谢大家的关注，希望大家发挥想象，想想这个递推公式是怎么来的，公式的证明（hook length formula）网上能找到，大家可以参考参考。

[ShingRay]

对于某种确定形状的不同 Young Tableux 数目，用 TeX 描述就是这样

\frac{n!}{\prod_{x \in S} f(x)}

n 是格子总数
S 是 n 个格子组成的集合
对于某个格子 x，f(x)定义为它 下面的格子数＋右面的格子数＋1

－－－－－－－－－

不知道这个公式的话，用动态规划也可以

第 n 行放置了 a_n 个，保证 a_1 >= a_2 >= a_3 ……
可以用备忘录形式的动态规划实现

[linren]

查了一下资料发现了F(n)的一些通项公式的表示方法……




正好是对合置换（Permutation Involution）的公式……
这里有对合的一个解释：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E5%90%88

[linren]

求对合数的一种简单方法……
以n=3为例
我们先从集合{1,2,3}的P(3,3)种排列中选择一种作为原序（1,2,3）并且将对合数记为1……
然后使用剩下的P(3,3)-1种情况作为其进行了1次置换后的结果
如果相同的置换进行了2次后得到的结果为原序(1,2,3)
那么对合数就增加1……


整数分解+HOOK FORMULA的效果等同于求对合数……
这一点还是不清楚是为什么……

[fjtxwd]

强人很多

[linren]

【程序】

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

int check_invo(int *p,int len){
	int i;
	int *a,*b;
	a=(int*)malloc(sizeof(int)*len);
	b=(int*)malloc(sizeof(int)*len);
	for(i=0;i<len;i++) a[i]=p[i]+1;
	for(i=0;i<len;i++) b[i]=a[a[i]-1];
	for(i=0;i<len;i++){
		if(b[i]!=i+1){
			free(a);free(b);return 0;
		}
	}
	free(a);free(b);
	return 1;
}

void per_invo(int len){
	int *a,*p,*c;
	int i,j,k,flg;
	int cc;
	if(len<1){
		printf("error: len<1\n");return;
	}
	a=(int*)malloc(sizeof(int)*len);
	p=(int*)malloc(sizeof(int)*len);
	c=(int*)malloc(sizeof(int)*len);
	memset(p,0,sizeof(int)*len);
	memset(c,0,sizeof(int)*len);
	for(i=0;i<len;i++) a[i]=i+1;
	
	k=0;flg=1;cc=0;
	while(flg){
		for(p[k]=0;p[k]<len;p[k]++){
			for(i=0;i<k;i++){
				if(p[i]==p[k]) break;
			}
			if(i!=k) continue;
			c[k]++;
			if(k==len-1){
				if(check_invo(p,len)){
					cc++;
					printf("No: %d\t(",cc);
					for(i=0;i<len-1;i++) printf("%d, ",a[p[i]]);
					printf("%d)\n",a[p[i]]);
				}
				for(i=len-1,j=1;c[i]==j&&i>=0;i--,j++);
				if(j==len+1){
					flg=0;break;
				}
				k=i;
				if(k<len-1){
					memset(c+k+1,0,sizeof(int)*(len-k-1));
				}
			}
			else k++;
		}
	}
	free(p);free(c);free(a);
}

int main(){
	per_invo(4);
	return 0;
}

【运行结果】

No: 1   (1, 2, 3, 4)
No: 2   (1, 2, 4, 3)
No: 3   (1, 3, 2, 4)
No: 4   (1, 4, 3, 2)
No: 5   (2, 1, 4, 3)
No: 6   (2, 1, 3, 4)
No: 7   (3, 2, 1, 4)
No: 8   (3, 4, 1, 2)
No: 9   (4, 2, 3, 1)
No: 10  (4, 3, 2, 1)
Press any key to continue

【说明】
这个程序可以用来打印对合数……

[linren]

（上接33楼）
【说明】
如果能够找到一种规律
把下面的结果和33楼中的结果一一对应起来……
那么就能解决这个帖子的问题……

■□□□   hλ: 1  .  .  .
■□□□        2  .  .  .
■□□□        3  .  .  .
■□□□        4  .  .  .

No: 1
 4 . . .
 3 . . .
 2 . . .
 1 . . .

□□□□   hλ: .  .  .  .
■□□□        1  .  .  .
■□□□        2  .  .  .
■■□□        4  1  .  .

No: 2
 . . . .
 4 . . .
 3 . . .
 1 2 . .

No: 3
 . . . .
 4 . . .
 2 . . .
 1 3 . .

No: 4
 . . . .
 3 . . .
 2 . . .
 1 4 . .

□□□□   hλ: .  .  .  .
□□□□        .  .  .  .
■■□□        2  1  .  .
■■□□        3  2  .  .

No: 5
 . . . .
 . . . .
 3 4 . .
 1 2 . .

No: 6
 . . . .
 . . . .
 2 4 . .
 1 3 . .

□□□□   hλ: .  .  .  .
□□□□        .  .  .  .
■□□□        1  .  .  .
■■■□        4  2  1  .

No: 7
 . . . .
 . . . .
 4 . . .
 1 2 3 .

No: 8
 . . . .
 . . . .
 3 . . .
 1 2 4 .

No: 9
 . . . .
 . . . .
 2 . . .
 1 3 4 .

□□□□   hλ: .  .  .  .
□□□□        .  .  .  .
□□□□        .  .  .  .
■■■■        4  3  2  1

No: 10
 . . . .
 . . . .
 . . . .
 1 2 3 4

尝试了利用hλ、斜线方向、整数分拆的大小等方法对上述结果进行排序……
但是还是无法做到与33楼的结果一一对应起来……

[linren]

【关于公式来历的一个推理】

如同21楼所说
当n很小的时候F(n)的结果是非常容易计算出来的……

（但是当n变得稍微比较大的话F(n)的结果就马上变得大的惊人了……
当n=20的时候F(n)的结果就连一个长整形数都无法记录……）

数学家在观察数列F(n)的前面几项时……
偶然间发现它们正好与对合数吻合……
于是就想到了通过证明杨氏图表与对合的关系来证明F(n)=I(n)

后来数学家成功的证明了这点（方法如37楼所示）
于是就有了F(n)=F(n-1)+(n-1)*F(n-2)这个递推公式……

[chenia186]

问个问题 每一行（列） 必须要填满？ 能有空缺吗

“
n=3时的合理填充有：
3 | | |
2 | | 2 | 3
1 |1 2 3 | 1 3| 1 2
”

没看太懂

[wo777778]

学习，中~~~~~~

[linren]

[Quote=引用 42 楼 chenia186 的回复:]
问个问题 每一行（列） 必须要填满？ 能有空缺吗

“
n=3时的合理填充有：
3 | | |
2 | | 2 | 3
1 |1 2 3 | 1 3| 1 2
”

没看太懂
[/Quote]
下面这段话只是帖子的一个引言：

n^2个不同高度的人前后排成n排n列，每排n人，要求每列后面的比前面高，每排左边的比右边的高，问总共能有多少满足要求的种排法。

一开始以为是要把n*n个数放入n*n的矩阵中
后来明白其实是要把n个数放入n*n的矩阵中……

这样那句引言就退化成了后者的一种特殊的情况……
变成了把（n*n）个数放入（n*n）*（n*n）的矩阵中的一种情况
也就是把数都摆放在（n*n）*（n*n）的矩阵的左下角的一个n*n的正方形区域当中……

[new_00006]

呵呵，看到了，再等一周结贴，看还有没有别的解答方法。谢谢了，我看的证明是用hook length证明的，而且没看明白。虽然这个证明现在也还没看明白，但比那个要简单多了。而且讲到了递推公式的由来。

[wuchenghao19891]

佩服大家的敬业精神！尊敬！

[linren]

整数拆分与Young tableaux之间有种关系……
叫做Schensted Correspondence

这里有一段资料：
http://mathworld.wolfram.com/SchenstedCorrespondence.html

资料中提到了一本书——《The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching, 2nd ed.》
就是《计算机程序设计艺术（第三卷）》

在CSDN上有高清的下载版……
翻了几页发现真的是天书呢……

[chiwenzi]

《计算机程序设计艺术》好像听说过这本书

[linren]

《计算机程序设计艺术（第三卷）》

5.1.4 图表和对合

【摘抄】

1）为了简便起见，把“杨氏图表”简称为“图表”

2）对合和图表之间的这一联系决不是显然的，而且大概也没有非常简单的办法来证明它。我们将要讨论的证明包含一个非常有趣的图标构造算法，它有若干其它意外的性质，该算法是以把新元素插入图表的一个特殊过程为基础的。

【说明】
书中有完美的证明……
这里就不重复书中的证明办法了（因为一些图和符号表示起来比较困难）

下载地址：
part1：http://download.csdn.net/source/1311923
part2：http://download.csdn.net/source/1311947
part3：http://download.csdn.net/source/1311981
part4：http://download.csdn.net/source/1312026

下载完后
将文件名分别改为：
3.part1.rar
3.part2.rar
3.part3.rar
3.part4.rar
就可以进行解压缩了……

[new_00006]

呵呵！大家想啊，那个递推公式啊！

[linren]

[Quote=引用 38 楼 new_00006 的回复:]
呵呵！大家想啊，那个递推公式啊！
[/Quote]
证明递推公式：F(n)=F(n-1)+(n-1)F(n-2)
只用证明杨氏图表与对合之间存在一一对应的关系就可以了……
证明的方法就在37楼提供的链接中……

就像高德纳所说“没有非常简单的办法来证明”这个递推公式……

[linren]

[Quote=引用 39 楼 linren 的回复:]
只用证明杨氏图表与对合之间存在一一对应的关系就可以了……
[/Quote]
这一步的证明有着重要的意义……
把复杂的整数分拆和HOOK FORMULA的细节全部都屏蔽掉（注意：HOOK FORMULA中的函数hλ((x,y))非初等函数，所以说这一步证明的意义非常重大）……
把问题转换成为了一种更加简单的问题==》求对合数

[wesweeky]

牛逼 最近研究整数分划用到这个 看看。 牛人很多