关于DP中的最大子段和

[javadream11]

给我详细解释下这个状态转移方程：b[j] = max{b[j-1]+a[j], a[j]}, 1<=j<=n

[PeacefulBY]

把题描述下？

[javadream11]

[Quote=引用 1 楼 peacefulby 的回复:]
把题描述下？
[/Quote]

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。

[xiaoyu821120]

我觉得这题的递推式应该是
if(b[j-1]<=0)
b[j]=a[j]
else
b[j]=b[j-1]+a[j];
b[0] = a[0]

[PeacefulBY]

b[j]=max{a[i]++a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。
T(n)=O(n)

[fire_woods]

最大子段和不需要BP,有O(n)的算法.

[lingyun310]

看你这个方程，应该是先建立的一个数组，b[j]记录a[0]到a[j]的和，然后在数组b中查找符合条件的子段。即最后的结果是其中的一个极大值-它前面的某个极小值。
但是这个算法做了改进，即，和是负值的时候，就不做记录，也就是说，把极小值全部取作了0，这样一来，只要查找极大值就可以了。。。

这个方程就是计算数组b用的。。。如果当前b[j]小于0，那么重新开始记录a[j]，也就是说，此时，前面有一段子段的和为负了，而分析一下，这一段负和是不可能出现在和最大子段里面的。。。。具体过程比较复杂，不写了。。。自己好好思考一下，就能想通的。

[showjim]

[Quote=引用 5 楼 fire_woods 的回复:]
最大子段和不需要BP,有O(n)的算法.
[/Quote]
是的,从左到右扫一次就行了(中间要记录差值)

[lingyun310]

这是个O(n)算法，只需要遍历一遍就可以了。。

[绿色夹克衫]

O(n)的算法其实本质也是一种DP，而且是最经典的DP。

[javadream11]

[Quote=引用 9 楼 litaoye 的回复:]
O(n)的算法其实本质也是一种DP，而且是最经典的DP。
[/Quote]

到底是怎么样的啊？

[绿色夹克衫]

转帖一个别人的吧

int MaxSum(int n,int *a)
{
int sum=a[0],b=0;
for(int i=0;i <n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}

[Quote=引用 10 楼 javadream11 的回复:]
引用 9 楼 litaoye 的回复:
O(n)的算法其实本质也是一种DP，而且是最经典的DP。


到底是怎么样的啊？
[/Quote]

[黄舒颖 咸丫蛋]

正解,Got it

[Quote=引用 11 楼 litaoye 的回复:]
转帖一个别人的吧

int MaxSum(int n,int *a)
{
  int sum=a[0],b=0;
  for(int i=0;i <n;i++)
  {
      if(b>0) b+=a[i];
      else b=a[i];
      if(b>sum) sum=b;
  }
  return sum;
}

引用 10 楼 javadream11 的回复:
引用 9 楼 litaoye 的回复:
O(n)的算法其实本质也是一种DP，而且是最经典的DP。


到底是怎么样的啊？

[/Quote]

[acdbxzyw]

[Quote=引用 4 楼 peacefulby 的回复:]
b[j]=max{a[i]++a[j]},1 <=i <=j,且1 <=j <=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1 <=j <=n。
由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1 <=j <=n。
T(n)=O(n)
[/Quote]

[青蛙果果]

int MaxSum(int n,int *a)
{
int sum=0;
for(int i=1;i <n;i++)
{
a[i]=max( a[i-1]+a[i],a[i]);
sum=max( sum,a[i]);
}
return sum;
}


a[i] 表示以a[i]为结尾的子段的最大和 当然不一定是所要的最终和 比如1->i-1 和为9 而a[i]为-2，因而以a[i] 为结尾的最大和是7，对于整个数段来说至少应是9，因而用到sum来记录所要求的最大和