一个类似价格和重量的背包问题，望高手帮解答一下

liuhao0226 2009-09-03 07:28:56

已知正整数p1,p2,...,pn, W1,W2,...,Wn和M，寻找 W1*X1+W2*X2+...+Wn*Xn <= M 条件下，
X1，X2，。。。，Xn，0<=Xi<=1,使得 p1*X1+p2*X2+。。。+Pn*Xn最大化。

我已经明白，怎么可以使 p1*W1+p2*W2+。。。+Pn*Wn 最大化，可是不明白怎么使上面的问题最大化

有没有哪个高手帮我解释一下，先谢谢了。。。

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linren 2009-09-04

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【测试用例1】

#define MY_N 5

#define MY_M 50

int p[MY_N]={10,20,15,46,7};

int w[MY_N]={45,32,78,47,23};

【测试结果1】

z=98    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=91    x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=88    x[5]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=81    x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=83    x[5]=1, x[1]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=76    x[1]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=73    x[5]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=66    x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=78    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=71    x[1]=1, x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=68    x[5]=1, x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=61    x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=63    x[5]=1, x[1]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=56    x[1]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=53    x[5]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=46    x[4]=1,         is answer!



Press any key to continue

【说明1】
限重50……
没有办法选择多个……
只能选则一个……
w[]中红色的是可以选择的……
int p[MY_N]={10,20,15,46,7};
int w[MY_N]={45,32,78,47,23};
p[]中蓝色的就是最优的结果……

【测试用例2】

#define MY_N 5

#define MY_M 10

int p[MY_N]={10,20,15,46,7};

int w[MY_N]={45,32,78,47,23};

【测试结果2】

z=98    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=91    x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=88    x[5]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=81    x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=83    x[5]=1, x[1]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=76    x[1]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=73    x[5]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=66    x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=78    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=71    x[1]=1, x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=68    x[5]=1, x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=61    x[3]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=63    x[5]=1, x[1]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=56    x[1]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=53    x[5]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=46    x[4]=1,         is not answer...



z=52    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=45    x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=42    x[5]=1, x[3]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=35    x[3]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=37    x[5]=1, x[1]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=30    x[1]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=27    x[5]=1, x[2]=1,         is not answer...



z=20    x[2]=1,         is not answer...



z=32    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1,         is not answer...



z=25    x[1]=1, x[3]=1,         is not answer...



z=22    x[5]=1, x[3]=1,         is not answer...



z=15    x[3]=1,         is not answer...



z=17    x[5]=1, x[1]=1,         is not answer...



z=10    x[1]=1,         is not answer...



z=7     x[5]=1,         is not answer...



z=0             not find answer!

Press any key to continue

【说明2】
因为限重为10……
而所有的物品都大于10……
所以最后什么都没有选择……

chuengchuenghq 2009-09-04

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linren 2009-09-04

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（上接11楼）

11楼的程序有些问题……
对循环的判定有错误……

下面是正确的程序了：

【程序】

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>



/**只用修改这里*********************/

#define MY_N 5

#define MY_M 200

int p[MY_N]={10,20,15,46,7};

int w[MY_N]={45,32,78,47,23};

/*********************只用修改这里**/



struct node{

	int i;

	int p;

};



int compar(const void *a,const void *b){

	struct node *aa,*bb;

	aa=(struct node*)a;

	bb=(struct node*)b;

	if(aa->p>bb->p) return 1;

	if(aa->p==bb->p) return 0;

	return -1;

}



void fun(int *p,int *w,int n,int m){

	struct node *ls;

	char *xk;

	int i,j;

	int z,sum_p,sum_w,a,b,c,d;

	ls=(struct node*)malloc(sizeof(struct node)*n);

	xk=(char*)malloc(sizeof(char)*n);



	sum_p=0;sum_w=0;

	for(i=0;i<n;i++){

		ls[i].i=i;

		ls[i].p=p[i];

		sum_p+=p[i];

		sum_w+=w[i];

	}

	a=m-sum_w;

	qsort(ls,n,sizeof(struct node),compar);

	

	for(j=0;;j++){

		memset(xk,0,sizeof(char)*n);

		d=0;

		for(i=0;i<n;i++){

			if(j&(1<<i)){

				xk[i]=1;d++;

			}

		}

		b=0;c=0;

		for(i=0;i<n;i++){

			b+=w[ls[i].i]*xk[i];

			c+=p[ls[i].i]*xk[i];

		}

		z=sum_p-c;

		printf("z=%d\t",z);

		for(i=0;i<n;i++){

			if(xk[i]==0) printf("x[%d]=1, ",ls[i].i+1);

		}

		if(d==n){

			printf("\tnot find answer!\n");break;

		}

		if(-b<=a){

			printf("\tis answer!\n\n");break;

		}else{

			printf("\tis not answer...\n\n");

		}

	}



	free(ls);free(xk);

}



int main(){

	fun(p,w,MY_N,MY_M);

	return 0;

}

linren 2009-09-04

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【程序】

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>



/**只用修改这里*********************/

#define MY_N 5

#define MY_M 200

int p[MY_N]={10,20,15,46,7};

int w[MY_N]={45,32,78,47,23};

/*********************只用修改这里**/



struct node{

	int i;

	int p;

};



int compar(const void *a,const void *b){

	struct node *aa,*bb;

	aa=(struct node*)a;

	bb=(struct node*)b;

	if(aa->p>bb->p) return 1;

	if(aa->p==bb->p) return 0;

	return -1;

}



void fun(int *p,int *w,int n,int m){

	struct node *ls;

	char *xk;

	int i,j;

	int z,sum_p,sum_w,a,b,c;

	ls=(struct node*)malloc(sizeof(struct node)*n);

	xk=(char*)malloc(sizeof(char)*n);



	sum_p=0;sum_w=0;

	for(i=0;i<n;i++){

		ls[i].i=i;

		ls[i].p=p[i];

		sum_p+=p[i];

		sum_w+=w[i];

	}

	a=m-sum_w;

	qsort(ls,n,sizeof(struct node),compar);

	

	for(j=0;j<=n;j++){

		memset(xk,0,sizeof(char)*n);

		for(i=0;i<n;i++){

			if(j&(1<<i)) xk[i]=1;

		}

		b=0;c=0;

		for(i=0;i<n;i++){

			b+=w[ls[i].i]*xk[i];

			c+=p[ls[i].i]*xk[i];

		}

		z=sum_p-c;

		printf("z=%d\t",z);

		for(i=0;i<n;i++){

			if(xk[i]==0) printf("x[%d]=1, ",ls[i].i+1);

		}

		if(-b<=a){

			printf("\tis answer!\n\n");

			break;

		}else{

			printf("\tis not answer...\n\n");

		}

	}



	free(ls);free(xk);

}



int main(){

	fun(p,w,MY_N,MY_M);

	return 0;

}

【运行结果】

z=98    x[5]=1, x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=91    x[1]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is not answer...



z=88    x[5]=1, x[3]=1, x[2]=1, x[4]=1,         is answer!



Press any key to continue

【说明】
以上是对6楼+8楼算法的一个实现……

丈八涯 2009-09-04

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是01背包问题，只是价值有一个计算公式罢了。

http://blog.csdn.net/g_idea/archive/2009/08/24/4477020.aspx

黄舒颖咸丫蛋 2009-09-04

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这个问题准确的说，是叫MIP 混合整数规划，或者叫混合整数线性规划问题。
如果不是特别的原因非得自己实现，
建议楼主也可以去网上找相关的lp_sover （线性规划）库。

单纯形法可以实现，而且效果也不错。

[Quote=引用 2 楼 litaoye 的回复:]
确实是线性规划问题，LZ可以看看单纯型法！
[/Quote]

linren2 2009-09-03

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[Quote=引用 7 楼 peacefulby 的回复:]

同学，Xi不一定是0和1啊……
不过你那个累加符号是怎么打出来的我很好奇:)
[/Quote]
是使用了特殊的软件盘^_^……

linren2 2009-09-03

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[Quote=引用 6 楼 linren 的回复:]
建立一个表
把Xi'按照|pi|的大小从小到大排序
得到顺序：Xk1,Xk2,...,Xkn

按照二进制递增枚举：
Xk1,Xk2,...,Xkn
00 ...0
100
...
[/Quote]
这段话有误……
应该是：

建立一个表
把Xi'按照|pi|的大小从小到大排序
得到顺序：Xk1',Xk2',...,Xkn'

按照二进制递增枚举：

Xk1',Xk2',Xk3',...,Xkn'

0    0    0    ... 0

1    0    0    ... 0

1    1    0    ... 0

...

当遇到第一个满足条件①的情况时
即为最优解……

6楼中忘记给“Xki”加“'”了……

PeacefulBY 2009-09-03

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[Quote=引用 6 楼 linren 的回复:]
Assembly codeMax Z = p1*X1+p2*X2+...+Pn*Xn
= ∑(pi*Xi)

W1*X1+W2*X2+...+Wn*Xn
= ∑(Wi*Xi) <= M

设：
1-Xi'=Xi

则：
Assembly codeMax Z = ∑[pi*(1-Xi')]
Max Z = (∑pi) - (∑(pi*Xi'))

∑[Wi*(1-Xi')] <= M
-∑(Wi*Xi') <= M-∑Wi ①

建立一个表
把Xi'按照|pi|的大小从小到大排序
得到顺序：Xk1,Xk2,...,Xkn

按照二进制递增枚举：
Assembly codeXk1,Xk2,...,Xkn00 ...0100
...

当遇到第一个满足条件①的情况时
即为最优解……
[/Quote]
同学，Xi不一定是0和1啊……
不过你那个累加符号是怎么打出来的我很好奇:)

linren 2009-09-03

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Max Z = p1*X1+p2*X2+...+Pn*Xn 

      = ∑(pi*Xi)



W1*X1+W2*X2+...+Wn*Xn 

      = ∑(Wi*Xi) <= M

设：
1-Xi'=Xi

则：

Max Z = ∑[pi*(1-Xi')]

Max Z = (∑pi) - (∑(pi*Xi'))



∑[Wi*(1-Xi')] <= M

-∑(Wi*Xi') <= M-∑Wi    ①

建立一个表
把Xi'按照|pi|的大小从小到大排序
得到顺序：Xk1,Xk2,...,Xkn

按照二进制递增枚举：

Xk1,Xk2,...,Xkn

0   0   ... 0

1   0       0

...

当遇到第一个满足条件①的情况时
即为最优解……

linren 2009-09-03

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这里有一个不错的资料：
http://166.111.121.20:9080/mathjournal/YCGL200003/ycgl200003007.caj.pdf

linren 2009-09-03

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应该是0-1规划……
可以用隐枚举法来求解……

showjim 2009-09-03

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先用贪婪法取p/W序列，限定最小和MW与Mp，同时缓存中间结果序列pW[]。
然后穷举组合MW<=x<=M,动态更新Mp,根据pW[]可中断不合条件的分枝.

绿色夹克衫 2009-09-03

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确实是线性规划问题，LZ可以看看单纯型法！

PeacefulBY 2009-09-03

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线性规划问题，类似于二维坐标系，然后类推到高维

背包问题(Knapsackproblem)是一种组合优化的问题。

蓝桥云课的笔记差分与前缀和差分法大学里的树木要打药前缀和大学里的树木要维护二分查找分巧克力M 次方根总结贪心算法算法概念：先看一个启发式问题：找零问题活动选择型问题之小 B 的宿舍可拆分背包问题之贪心的自助餐实验总结差分与前缀和差分与前缀和是一对互逆的操作，常常用于处理区间问题，差分法是解决区间加减问题，前缀和是解决区间求和问题的常用办法。. 差分法差分法的应用主要是用于处理区间问题。当某一个数组要在很多不确定的区间，加上相同的一个数。我们如果每个都进行加法操作的话，那么复杂度 O(nm) 是平方阶的

String.split(String regex)，按" "切分字符串获取String数组，取最后一个数组元素的长度。

NOIP复习篇———枚举 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 高手的切磋不在于难题，而在于SB算法....NOIP来了，决不能犯SB错误 -------------------------------

因为贪心一般要求一直局部最优解，所以一般会在此原则上用二分来优化结果的获得，所以将二分与贪心放在一起。本人blo可能有些许不严谨的地方，如果读者发现有任何问题，欢迎在评论区批评指正，大家一起讨论。

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