圆覆盖矩形问题

dourokinga 2009-09-12 03:15:32
求用最少个半径为r(r>0)的圆覆盖长为L,宽为D(L>D>0);


覆盖指的是不留空隙地用有限个圆盖住矩形
最后所有圆覆盖的面积肯定是>=矩形的面积的
当然单个圆的面积可以比矩形的面积大.

编程实现,谢谢
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tusidike3212009023 2011-06-25
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good!

好问题！！！！！！！！！！！！！！！！
tomorrowi 2010-11-13
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[Quote=引用 21 楼 linren2 的回复:]
上面的程序超出了行的长度了……

重新帖一下：
【程序】

C/C++ code
#include <windows.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define WINDOW_WIDTH 400
#define WINDOW_HEIGHT 400
char* g_szApplicationName="圆覆盖矩形（矩形覆……
[/Quote]
我需要六边形的，求你解决好吗？？？？我的QQ674089265在线等。也可以发到我邮箱。
FancyMouse 2010-01-09
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>如果用六边形给出了答案,那么圆的个数就确定了,所以,我认为这同样是一个np-hard问题.
乃规约方向反了。。。刚才人家只说可以用六边形做圆，但是要证它nph是要用圆做六边形才能证
「已注销」 2010-01-09
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首先说句不好意思先,现在才来结贴
其实这道题是我参加09年数模比赛时遇到的难点.三天的比赛过后就把它扔到一边了.哈~
想不到今天看到这么多厉害的讨论.实际上最后我也没给出最优解.只是讨论一下以正n边形代替覆盖的一些情况.
总之谢谢各位.
wangkefengyu 2009-10-28
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很复杂的问题，从来没有想过这么多，受教了。。
wightmight 2009-10-27
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厉害 厉害
佩服各位
latitude 2009-10-07
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已经证明了:用最少的多边形覆盖多边形是一个NP-hard问题,那么,用六边形来覆盖矩形也是一个np-hard问题,如果用六边形给出了答案,那么圆的个数就确定了,所以,我认为这同样是一个np-hard问题.
chj_2003 2009-10-03
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我们可否换个思路？
圆的面积给定，矩形给定。我们先不求需要多少个最少园。而是让每个圆尽可能大的为覆盖矩形作出贡献，这样自然需要的圆最少！
思考中
metears 2009-10-03
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路过 好好学习
twilightgod 2009-09-29
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二分枚举答案+暴力验证
linren2 2009-09-24
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上面的程序超出了行的长度了……

重新帖一下：
【程序】
#include <windows.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>



#define WINDOW_WIDTH  400

#define WINDOW_HEIGHT 400

char* g_szApplicationName="圆覆盖矩形（矩形覆盖）";

char* g_szWindowClassName="LinrenWindowClass";



struct mypoint{

	double x,y;

}myp[200];



struct myrect{

	double x,y;

	double x2,y2;

	double x3,y3;

}myr[200];



/**只用修改这里******************************/

#define PARM_R 24.1

#define PARM_L 233.5

#define PARM_D 197.4

/******************************只用修改这里**/



int n,n2;

double r=PARM_R,l=PARM_L,d=PARM_D;

double at,sq2,x,y;

double a,e;

#undef PARM_R

#undef PARM_L

#undef PARM_D

char str[100];



void fun(){

	int cl,cd,i,j;



	x=(double(WINDOW_WIDTH)-l)/2.0;

	y=(double(WINDOW_HEIGHT)-d)/2.0;

	

	sq2=sqrt(2.0);

	a=sq2*r;



	at=(a-r)/sq2;



	cl=(int)(l/a);

	cd=(int)(d/a);

	n=0;

	for(i=0;i<cl;i++){

		for(j=0;j<cd;j++){

			myp[n].x=x+a*i;

			myp[n].y=y+a*j;

			n++;

		}

	}

	e=(int)(r+r+1e-15);



	n2=0;

	double t1,t2,t3,t4;

	int kd;

	t1=l-cl*a;

	t2=sqrt((r+r)*(r+r)-t1*t1);

	t3=d-cd*a;

	t4=sqrt((r+r)*(r+r)-t3*t3);



	if(t1<t4){

		kd=(int)(l/t4);

		myr[n2].x=x+kd*t4;

		myr[n2].y=y+cd*a;

		myr[n2].x2=x+(kd+1)*t4;

		myr[n2].y2=y+d;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t4/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t3/2.0);

		n2++;

	}else if(t3<t2){

		kd=(int)(d/t2);

		myr[n2].x=x+cl*a;

		myr[n2].y=y+kd*t2;

		myr[n2].x2=x+l;

		myr[n2].y2=y+(kd+1)*t2;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t1/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t2/2.0);

		n2++;

	}else{

		kd=(int)(l/t4);

		myr[n2].x=x+kd*t4;

		myr[n2].y=y+cd*a;

		myr[n2].x2=x+(kd+1)*t4;

		myr[n2].y2=y+d;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t4/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t3/2.0);

		n2++;

		kd=(int)(d/t2);

		myr[n2].x=x+cl*a;

		myr[n2].y=y+kd*t2;

		myr[n2].x2=x+l;

		myr[n2].y2=y+(kd+1)*t2;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t1/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t2/2.0);

		n2++;

	}



	kd=(int)(d/t2);

	for(i=0;i<kd;i++){

		myr[n2].x=x+cl*a;

		myr[n2].y=y+i*t2;

		myr[n2].x2=x+l;

		myr[n2].y2=y+(i+1)*t2;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t1/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t2/2.0);

		n2++;

	}

	

	kd=(int)(l/t4);

	for(i=0;i<kd;i++){

		myr[n2].x=x+i*t4;

		myr[n2].y=y+cd*a;

		myr[n2].x2=x+(i+1)*t4;

		myr[n2].y2=y+d;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t4/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t3/2.0);

		n2++;

	}

	sprintf(str,"总数：%d",n+n2);

}



LRESULT CALLBACK WindowProc(HWND hwnd,UINT msg,WPARAM wParam,LPARAM lParam){

	static HBRUSH hbrush=(HBRUSH)GetStockObject(NULL_BRUSH);

	static HPEN newpen=CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));

	static HPEN oldpen=NULL;

	switch(msg){

	case WM_CREATE:

		{

			PAINTSTRUCT ps;

			int i;

			BeginPaint(hwnd,&ps);

			SelectObject(ps.hdc,hbrush);

			for(i=0;i<n;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myp[i].x-at+0.5),(int)(myp[i].y-at+0.5),

					(int)(myp[i].x-at+e+0.5),(int)(myp[i].y-at+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myp[i].x+0.5),(int)(myp[i].y+0.5),

					(int)(myp[i].x+a+0.5),(int)(myp[i].y+a+0.5));

			}

			for(i=0;i<n2;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myr[i].x3+0.5),(int)(myr[i].y3+0.5),

					(int)(myr[i].x3+e+0.5),(int)(myr[i].y3+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myr[i].x+0.5),(int)(myr[i].y+0.5),

					(int)(myr[i].x2+0.5),(int)(myr[i].y2+0.5));

			}

			oldpen=(HPEN)SelectObject(ps.hdc,newpen);

			Rectangle(ps.hdc,(int)(x+0.5),(int)(y+0.5),(int)(x+l+0.5),(int)(y+d+0.5));

			SelectObject(ps.hdc,oldpen);

			TextOut(ps.hdc,20,20,str,strlen(str));

			EndPaint(hwnd,&ps);

		}

		break;



	case WM_PAINT:

		{

			PAINTSTRUCT ps;

			int i;

			BeginPaint(hwnd,&ps);

			SelectObject(ps.hdc,hbrush);

			for(i=0;i<n;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myp[i].x-at+0.5),(int)(myp[i].y-at+0.5),

					(int)(myp[i].x-at+e+0.5),(int)(myp[i].y-at+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myp[i].x+0.5),(int)(myp[i].y+0.5),

					(int)(myp[i].x+a+0.5),(int)(myp[i].y+a+0.5));

			}

			for(i=0;i<n2;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myr[i].x3+0.5),(int)(myr[i].y3+0.5),

					(int)(myr[i].x3+e+0.5),(int)(myr[i].y3+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myr[i].x+0.5),(int)(myr[i].y+0.5),

					(int)(myr[i].x2+0.5),(int)(myr[i].y2+0.5));

			}

			oldpen=(HPEN)SelectObject(ps.hdc,newpen);

			Rectangle(ps.hdc,(int)(x+0.5),(int)(y+0.5),(int)(x+l+0.5),(int)(y+d+0.5));

			SelectObject(ps.hdc,oldpen);

			TextOut(ps.hdc,20,20,str,strlen(str));

			EndPaint(hwnd,&ps);

		}

		break;



	case WM_DESTROY:

		DeleteObject(hbrush);DeleteObject(newpen);DeleteObject(oldpen);

		PostQuitMessage(0);break;

	}

	return DefWindowProc(hwnd,msg,wParam,lParam);

}



int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstance,

				   LPSTR szCmdLine,int iCmdShow){

	HWND hWnd;

	WNDCLASSEX winclass;

	winclass.cbSize        = sizeof(WNDCLASSEX);

	winclass.style         = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;

	winclass.lpfnWndProc   = WindowProc;

	winclass.cbClsExtra    = 0;

	winclass.cbWndExtra    = 0;

	winclass.hInstance     = hInstance;

	winclass.hIcon         = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION);

	winclass.hCursor       = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);

	winclass.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject (WHITE_BRUSH);

	winclass.lpszMenuName  = NULL;

	winclass.lpszClassName = g_szWindowClassName;

	winclass.hIconSm       = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION);



	if (!RegisterClassEx(&winclass)){

		MessageBox(NULL,"RegisterClassEx Error!","error",0);return 0;

	}

	

	hWnd=CreateWindowEx(NULL,

		g_szWindowClassName,

		g_szApplicationName,

		WS_OVERLAPPEDWINDOW,

		GetSystemMetrics(SM_CXSCREEN)/2-WINDOW_WIDTH/2,

		GetSystemMetrics(SM_CYSCREEN)/2-WINDOW_HEIGHT/2,

		WINDOW_WIDTH,

		WINDOW_HEIGHT,

		NULL,NULL,hInstance,NULL);



	if(!hWnd){

		MessageBox(NULL,"CreateWindowEx Error!","error",0);return 0;

	}



	fun();

	ShowWindow(hWnd, iCmdShow);UpdateWindow(hWnd);

	

	MSG msg;

	while(GetMessage(&msg,NULL,0,0)){

		TranslateMessage(&msg);DispatchMessage(&msg);

	}

	return msg.wParam;

}

【说明】
这个程序用来求解使用圆的内接矩形来覆盖目标矩形（红色部分）的最优解……
暂时还没有把六边形的情况添加进来……
linren 2009-09-24
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【程序】
#include <windows.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>



#define WINDOW_WIDTH  400

#define WINDOW_HEIGHT 400

char* g_szApplicationName="圆覆盖矩形（矩形覆盖）";

char* g_szWindowClassName="LinrenWindowClass";



struct mypoint{

	double x,y;

}myp[200];



struct myrect{

	double x,y;

	double x2,y2;

	double x3,y3;

}myr[200];



/**只用修改这里******************************/

#define PARM_R 24.1

#define PARM_L 233.5

#define PARM_D 197.4

/******************************只用修改这里**/



int n,n2;

double r=PARM_R,l=PARM_L,d=PARM_D;

double at,sq2,x,y;

double a,e;

#undef PARM_R

#undef PARM_L

#undef PARM_D

char str[100];



void fun(){

	int cl,cd,i,j;



	x=(double(WINDOW_WIDTH)-l)/2.0;

	y=(double(WINDOW_HEIGHT)-d)/2.0;

	

	sq2=sqrt(2.0);

	a=sq2*r;



	at=(a-r)/sq2;



	cl=(int)(l/a);

	cd=(int)(d/a);

	n=0;

	for(i=0;i<cl;i++){

		for(j=0;j<cd;j++){

			myp[n].x=x+a*i;

			myp[n].y=y+a*j;

			n++;

		}

	}

	e=(int)(r+r+1e-15);



	n2=0;

	double t1,t2,t3,t4;

	int kd;

	t1=l-cl*a;

	t2=sqrt((r+r)*(r+r)-t1*t1);

	t3=d-cd*a;

	t4=sqrt((r+r)*(r+r)-t3*t3);



	if(t1<t4){

		kd=(int)(l/t4);

		myr[n2].x=x+kd*t4;

		myr[n2].y=y+cd*a;

		myr[n2].x2=x+(kd+1)*t4;

		myr[n2].y2=y+d;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t4/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t3/2.0);

		n2++;

	}else if(t3<t2){

		kd=(int)(d/t2);

		myr[n2].x=x+cl*a;

		myr[n2].y=y+kd*t2;

		myr[n2].x2=x+l;

		myr[n2].y2=y+(kd+1)*t2;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t1/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t2/2.0);

		n2++;

	}else{

		kd=(int)(l/t4);

		myr[n2].x=x+kd*t4;

		myr[n2].y=y+cd*a;

		myr[n2].x2=x+(kd+1)*t4;

		myr[n2].y2=y+d;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t4/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t3/2.0);

		n2++;

		kd=(int)(d/t2);

		myr[n2].x=x+cl*a;

		myr[n2].y=y+kd*t2;

		myr[n2].x2=x+l;

		myr[n2].y2=y+(kd+1)*t2;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t1/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t2/2.0);

		n2++;

	}



	kd=(int)(d/t2);

	for(i=0;i<kd;i++){

		myr[n2].x=x+cl*a;

		myr[n2].y=y+i*t2;

		myr[n2].x2=x+l;

		myr[n2].y2=y+(i+1)*t2;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t1/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t2/2.0);

		n2++;

	}

	

	kd=(int)(l/t4);

	for(i=0;i<kd;i++){

		myr[n2].x=x+i*t4;

		myr[n2].y=y+cd*a;

		myr[n2].x2=x+(i+1)*t4;

		myr[n2].y2=y+d;

		myr[n2].x3=myr[n2].x-(r-t4/2.0);

		myr[n2].y3=myr[n2].y-(r-t3/2.0);

		n2++;

	}

	sprintf(str,"总数：%d",n+n2);

}



LRESULT CALLBACK WindowProc(HWND hwnd,UINT msg,WPARAM wParam,LPARAM lParam){

	static HBRUSH hbrush=(HBRUSH)GetStockObject(NULL_BRUSH);

	static HPEN newpen=CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));

	static HPEN oldpen=NULL;

	switch(msg){

	case WM_CREATE:

		{

			PAINTSTRUCT ps;

			int i;

			BeginPaint(hwnd,&ps);

			SelectObject(ps.hdc,hbrush);

			for(i=0;i<n;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myp[i].x-at+0.5),(int)(myp[i].y-at+0.5),(int)(myp[i].x-at+e+0.5),(int)(myp[i].y-at+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myp[i].x+0.5),(int)(myp[i].y+0.5),(int)(myp[i].x+a+0.5),(int)(myp[i].y+a+0.5));

			}

			for(i=0;i<n2;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myr[i].x3+0.5),(int)(myr[i].y3+0.5),(int)(myr[i].x3+e+0.5),(int)(myr[i].y3+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myr[i].x+0.5),(int)(myr[i].y+0.5),(int)(myr[i].x2+0.5),(int)(myr[i].y2+0.5));

			}

			oldpen=(HPEN)SelectObject(ps.hdc,newpen);

			Rectangle(ps.hdc,(int)(x+0.5),(int)(y+0.5),(int)(x+l+0.5),(int)(y+d+0.5));

			SelectObject(ps.hdc,oldpen);

			TextOut(ps.hdc,20,20,str,strlen(str));

			EndPaint(hwnd,&ps);

		}

		break;



	case WM_PAINT:

		{

			PAINTSTRUCT ps;

			int i;

			BeginPaint(hwnd,&ps);

			SelectObject(ps.hdc,hbrush);

			for(i=0;i<n;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myp[i].x-at+0.5),(int)(myp[i].y-at+0.5),(int)(myp[i].x-at+e+0.5),(int)(myp[i].y-at+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myp[i].x+0.5),(int)(myp[i].y+0.5),(int)(myp[i].x+a+0.5),(int)(myp[i].y+a+0.5));

			}

			for(i=0;i<n2;i++){

				Ellipse(ps.hdc,(int)(myr[i].x3+0.5),(int)(myr[i].y3+0.5),(int)(myr[i].x3+e+0.5),(int)(myr[i].y3+e+0.5));

				Rectangle(ps.hdc,(int)(myr[i].x+0.5),(int)(myr[i].y+0.5),(int)(myr[i].x2+0.5),(int)(myr[i].y2+0.5));

			}

			oldpen=(HPEN)SelectObject(ps.hdc,newpen);

			Rectangle(ps.hdc,(int)(x+0.5),(int)(y+0.5),(int)(x+l+0.5),(int)(y+d+0.5));

			SelectObject(ps.hdc,oldpen);

			TextOut(ps.hdc,20,20,str,strlen(str));

			EndPaint(hwnd,&ps);

		}

		break;



	case WM_DESTROY:

		DeleteObject(hbrush);DeleteObject(newpen);DeleteObject(oldpen);

		PostQuitMessage(0);break;

	}

	return DefWindowProc(hwnd,msg,wParam,lParam);

}



int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstance,

				   LPSTR szCmdLine,int iCmdShow){

	HWND hWnd;

	WNDCLASSEX winclass;

	winclass.cbSize        = sizeof(WNDCLASSEX);

	winclass.style         = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;

	winclass.lpfnWndProc   = WindowProc;

	winclass.cbClsExtra    = 0;

	winclass.cbWndExtra    = 0;

	winclass.hInstance     = hInstance;

	winclass.hIcon         = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION);

	winclass.hCursor       = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);

	winclass.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject (WHITE_BRUSH);

	winclass.lpszMenuName  = NULL;

	winclass.lpszClassName = g_szWindowClassName;

	winclass.hIconSm       = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION);



	if (!RegisterClassEx(&winclass)){

		MessageBox(NULL,"RegisterClassEx Error!","error",0);return 0;

	}

	

	hWnd=CreateWindowEx(NULL,

		g_szWindowClassName,

		g_szApplicationName,

		WS_OVERLAPPEDWINDOW,

		GetSystemMetrics(SM_CXSCREEN)/2-WINDOW_WIDTH/2,

		GetSystemMetrics(SM_CYSCREEN)/2-WINDOW_HEIGHT/2,

		WINDOW_WIDTH,

		WINDOW_HEIGHT,

		NULL,NULL,hInstance,NULL);



	if(!hWnd){

		MessageBox(NULL,"CreateWindowEx Error!","error",0);return 0;

	}



	fun();

	ShowWindow(hWnd, iCmdShow);UpdateWindow(hWnd);

	

	MSG msg;

	while(GetMessage(&msg,NULL,0,0)){

		TranslateMessage(&msg);DispatchMessage(&msg);

	}

	return msg.wParam;

}

【运行结果】
linren 2009-09-23
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[Quote=引用 13 楼 lhylhy 的回复:]
对于比较大的矩形可以用内接六边形。
[/Quote]六边形的想法非常好
lhy 2009-09-23
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对于比较大的矩形可以用内接六边形。
linren 2009-09-23
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[Quote=引用 18 楼 linren 的回复:]
就是把15、16楼中使用的六边形旋转60度使用……
[/Quote]
打错了……
应该是90度……
linren 2009-09-23
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六边形的覆盖除了15、16楼中最上面不是的顶点的覆盖方法
还有一种最上面为的顶点的覆盖方法

就是把15、16楼中使用的六边形旋转60度使用……

[Quote=引用 17 楼 lhylhy 的回复:]
如果矩形的长宽都远大于圆的直径，用六边形可以节省23%的圆。

这个问题很复杂，我估计除非是数学家，不然很难解决。
或者考虑一下穷举法。

[/Quote]
确实是非常复杂的题目……
lhy 2009-09-23
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如果矩形的长宽都远大于圆的直径，用六边形可以节省23%的圆。

这个问题很复杂，我估计除非是数学家，不然很难解决。
或者考虑一下穷举法。
linren 2009-09-23
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上面是对另一种情况的覆盖
正方形覆盖需要4个……
六边形覆盖需要7个……
linren 2009-09-23
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上图中用六边形覆盖需要22个……
用矩形覆盖的话需要3种矩形，共计25个……
贝隆 2009-09-22
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