求2的n次方首位数的问题？

[yan198]

如题~

[linren]

[Quote=引用 48 楼 hztlfwd 的回复:]
【运行结果】
Assembly code2^1-->22^2-->42^3-->82^4-->22^5-->32^6-->62^7-->12^8-->32^9-->52^10-->1
Press any key to continue
[/Quote]
2^4-->2也不对啊
[/Quote]
嗯……
正确的程序是在31楼……

[unierror]

这个控制下范围,每算一次都除10取整一下

[kfanffvga]

这个问题可否考虑下10进制和2进制的数的转换问题，因为在2进制中，2^n是1后面跟着n个0，我们只要想清楚怎么把前面几位数转换成10进制就可以了

[twilightgod]

ls这个问题就是原问题.....

对于n比较小用暴力
大一点的话用对数精度应该ok
p.s. 当时这题是打表过去的

[yangfan227]

这个题有公式的，就是O(1)算法了。
提示，先将2^n的10进制表达式写出来，然后楼主在研究研究，值得你去研究的。

[pioneer604]

大兄弟，这么高明的公式真悟不出来，还是指点一下吧
[Quote=引用 54 楼 yangfan227 的回复:]
这个题有公式的，就是O(1)算法了。
提示，先将2^n的10进制表达式写出来，然后楼主在研究研究，值得你去研究的。
[/Quote]

[liusujian02]

学习！

[zeroieme]

设n/10=m余数k
2^n
=2^(10*m+k)
=(2^10)^m*(2^k)
=1024^m*(2^k)
=(1000+24)^m * (2^k)
后者1、2、4、8、16、……512
前面用《杨辉三角》展开， 取前3项之和与(2^k)相乘。

[Freedom]

为什么要着样做啊 挺麻烦的啊，我觉得先求出2的n次方等于多少，在用它对10取整就是了 比如
128对10取整，只要取整后的数不等于0就是了 循环判断条件
while(n!=0)

[pioneer604]

兄弟，思路不错，不过你的前三项之和很容易超出数据类型表示范围，这题不如对数方法实用，画个杨辉三角不如直接按二项式展开来得快，如果前三项中能够根据M的大小忽略部分1000的幂，只取前三项的有效数字相加，如果这种方法行得通，我觉得是一个好办法
[Quote=引用 57 楼 zeroieme 的回复:]
设n/10=m余数k
2^n
=2^(10*m+k)
=(2^10)^m*(2^k)
=1024^m*(2^k)
=(1000+24)^m  *  (2^k)
后者1、2、4、8、16、……512
前面用《杨辉三角》展开， 取前3项之和与(2^k)相乘。
[/Quote]

[pioneer604]

只是光取前三项的话数值仍然太大，我的意思能不能进一化简化
[Quote=引用 60 楼 zeroieme 的回复:]
引用 59 楼 pioneer604 的回复:
兄弟，思路不错，不过你的前三项之和很容易超出数据类型表示范围，这题不如对数方法实用，画个杨辉三角不如直接按二项式展开来得快，如果前三项中能够根据M的大小忽略部分1000的幂，只取前三项的有效数字相加，如果这种方法行得通，我觉得是一个好办法
引用 57 楼 zeroieme 的回复:
设n/10=m余数k
2^n
=2^(10*m+k)
=(2^10)^m*(2^k)
=1024^m*(2^k)
=(1000+24)^m  *  (2^k)
后者1、2、4、8、16、……512
前面用《杨辉三角》展开， 取前3项之和与(2^k)相乘。


杨辉三角当然是用二项式系数公式。凑个1024、取展开式前3项之和当然为了简化1000的乘幂后面的N个零。
就是这个意思，你都补充完了
[/Quote]

[zeroieme]

前三项分别是 1000^m、m*1000^（m-1）*24、m(m-1)/2 *1000^（m-2）*24^2
同时除以1000^m，分别是 1、24*m/1000、576*(m(m-1)/2)/(1000^2)
相加求和为 1+0.023424*m+0.000576*m^2

总结为
设 n/10=m余数k
则2^n 的首位数与（1+0.023424*m+0.000576*m^2）* 2^k 相同


取前三项是因为乘数(2^k) 部分可能有三位有效数字，所以(2^10)^m也保证三位有效数字的精度。

[zeroieme]

更正为
则2^n 的首位数与（1+0.023424*m+0.000576*m^2）* 2^k 的首位数 相同

[pioneer604]

哦，明白了
[Quote=引用 63 楼 zeroieme 的回复:]
前三项分别是 1000^m、m*1000^（m-1）*24、m(m-1)/2 *1000^（m-2）*24^2
同时除以1000^m，分别是 1、24*m/1000、576*(m(m-1)/2)/(1000^2)
相加求和为 1+0.023424*m+0.000576*m^2

总结为
设 n/10=m余数k
则2^n 的首位数与（1+0.023424*m+0.000576*m^2）* 2^k 相同


取前三项是因为乘数(2^k) 部分可能有三位有效数字，所以(2^10)^m也保证三位有效数字的精度。
[/Quote]

[zeroieme]

[Quote=引用 59 楼 pioneer604 的回复:]
兄弟，思路不错，不过你的前三项之和很容易超出数据类型表示范围，这题不如对数方法实用，画个杨辉三角不如直接按二项式展开来得快，如果前三项中能够根据M的大小忽略部分1000的幂，只取前三项的有效数字相加，如果这种方法行得通，我觉得是一个好办法
引用 57 楼 zeroieme 的回复:
设n/10=m余数k
2^n
=2^(10*m+k)
=(2^10)^m*(2^k)
=1024^m*(2^k)
=(1000+24)^m  *  (2^k)
后者1、2、4、8、16、……512
前面用《杨辉三角》展开， 取前3项之和与(2^k)相乘。

[/Quote]
杨辉三角当然是用二项式系数公式。凑个1024、取展开式前3项之和当然为了简化1000的乘幂后面的N个零。
就是这个意思，你都补充完了

[zhaigates]

不错

[zeroieme]

[Quote=引用 63 楼 zeroieme 的回复:]
前三项分别是 1000^m、m*1000^（m-1）*24、m(m-1)/2 *1000^（m-2）*24^2
同时除以1000^m，分别是 1、24*m/1000、576*(m(m-1)/2)/(1000^2)
相加求和为 1+0.023424*m+0.000576*m^2
[/Quote]
原多项式展开时少算个m(m-1)/2
更正为 1+0.023712*m+0.000288*m^2

[FancyMouse]

>第一要求就是准确， 如果用上面的取log的方法，在n很大的时候，是很难真正的准确的。
要使得n!的前3位是999，n已经要非常大了。所以在正常应用范围里取log没问题

[xiaohu9711]

哈哈，楼上的回答正确哦

[helihui123]

31楼的觉得有道理 +eps 精度就行了