一个概率问题：1024bit的大整数，能够完全分解为小于65536的质因子的概率有多大？

[showjim]

比如：32bit的整数除了大于65536的质数外都可以 完全分解质因子。
不求精确解，有好的想法也行。

[PeacefulBY]

[Quote=引用 2 楼 sbwwkmyd 的回复:]
谢谢楼上的，是要完全分解，也就是说质因子都要小于65536。
对于求精确解的递归算法，最大深度接近1000，每层的计算量分解成6千多个递归。时间复杂度太高，不能满足需求。
求出n以内质数的个数，对于解决这个问题好像也没有什么帮助。
不过还是谢谢你的回复。
[/Quote]
的确复杂度很高，不知动态规划能有多少帮助；或者可以考虑转化为下面的问题：
设m为65536内最大的质数，k为65535内质数个数（约6000）
那么，所有满足条件的数可以表示为2^A1 * 3^A2 * 5^A3 *......* m^Ak
其中，Ai为非负整数，现在问题即为，求下面不等式的所有非负整数解的个数：
2^A1 * 3^A2 * 5^A3 *......* m^Ak <= 2^1024
两边取对数得：
A1*log2 + A2*log3 + A3*log5 + ...... + Ak*logm <= 1024*log2
取对数后避免了大整数运算。这是一个背包问题，求精确解的话是NP难的；求近似解或许可以通过离散化进行动态规划……
另，也可以看成是高维立方体内的格点问题，但这似乎是一个世界性难题，不知道现在有没有解决……

[swandragon]

路过，帮顶

[PeacefulBY]

如果是要求分解后的所有质因子部分小于65536的话，可以用素数筛法和容斥原理，求出65535以内的所有素数2、3、5、7......那么，2的倍数满足条件，3的倍数满足条件等等（注意减去重复计算的部分，例如6的倍数），除此之外，大于65535的质数，或者在这个筛的过程中没有筛到的数（即质因子中没有小于65535的），就是不满足条件的；
如果是要求分解后的所有质因子都要小于65535的话，依然可以用上面的思想，用f(n)表示n以内满足条件的数的个数，那么对于n以内的所有偶数，除以2之后相当于f(n/2)；对于n以内的所有3的倍数，除以3之后相当于f(n/3)；依此类推，依然注意减去重复计算的部分，除此之外，如果都不能被65535内的任一个素数整除，说明其必有质因子大于65535。这里用到的是递归的思想。
以上是求精确解的方法。非精确解的话，有一个公式表示对于很大的n以内质数的个数，也许会有帮助，鄙人数论功底不行，爱莫能助~

[showjim]

谢谢楼上的，是要完全分解，也就是说质因子都要小于65536。
对于求精确解的递归算法，最大深度接近1000，每层的计算量分解成6千多个递归。时间复杂度太高，不能满足需求。
求出n以内质数的个数，对于解决这个问题好像也没有什么帮助。
不过还是谢谢你的回复。

[showjim]

[Quote=引用 5 楼 litaoye 的回复:]
大概是(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......(1-1/pn)

其中p1-pn是65536-2^1024 之间的质数

如果是求近似的话，可以根据素数的密度做一个近似，结果k应该满足

2^(-1012 / ln(2^16)) < k < 2^(-1012 / ln(2^1024))

不过这个范围比较大，可以用积分去逼近一下试试
[/Quote]
我曾经想过以2^x (32<=x<=2048)这些数点上迭代近似值，又怕幂次方太大(1024也可能是2048)，运算过程“失之毫厘，差之千里”；除非可以抛弃幂次方运算，某个因子差几倍也没关系。

[Quote=引用 6 楼 feiyangdn 的回复:]
大概约为
1-(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......(1-1/pn)
其中p1-pn是从2到65536之间的所有素数（包括2）
[/Quote]
这个明显是错误的，怎么可能和2^1024这个数毫无关系呢？
[Quote=引用 6 楼 feiyangdn 的回复:]
解释：
任意一个整数(很大)，被2整除的概率为1/2, 在不被2整除的前提下被3整除的概率为1/3，同时不被2和3整除的情况下被5整除的概率为1/5。。。。。。
这没有去证明，只有素数序列才能满足上面的规则。
[/Quote]
您应该没有看清问题，要求是“完全分解质因子”，不过也谢谢你的回复。

谢谢大家的关注，继续等待...

[绿色夹克衫]

大概是(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......(1-1/pn)

其中p1-pn是65536-2^1024 之间的质数

如果是求近似的话，可以根据素数的密度做一个近似，结果k应该满足

2^(-1012 / ln(2^16)) < k < 2^(-1012 / ln(2^1024))

不过这个范围比较大，可以用积分去逼近一下试试

[feiyangdn]

大概约为
1-(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......(1-1/pn)
其中p1-pn是从2到65536之间的所有素数（包括2）

举个例子：
32bit的整数除了大于10的质数外都可以 完全分解质因子的概率约为
1-(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7) = 1-24/105 = 81/105

其中大数与参考数相差越悬殊那么概率值越精确

解释：
任意一个整数(很大)，被2整除的概率为1/2, 在不被2整除的前提下被3整除的概率为1/3，同时不被2和3整除的情况下被5整除的概率为1/5。。。。。。
这没有去证明，只有素数序列才能满足上面的规则。

[绿色夹克衫]

关于求近似的部分，比较复杂，以我的水平搞起来比较费神，可以问问mathe，
对他来说可能不算太难！

[Quote=引用 7 楼 sbwwkmyd 的回复:]
引用 5 楼 litaoye 的回复:
大概是(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......(1-1/pn)

其中p1-pn是65536-2^1024 之间的质数

如果是求近似的话，可以根据素数的密度做一个近似，结果k应该满足

2^(-1012 / ln(2^16)) < k < 2^(-1012 / ln(2^1024))

不过这个范围比较大，可以用积分去逼近一下试试

我曾经想过以2^x (32 <=x <=2048)这些数点上迭代近似值，又怕幂次方太大(1024也可能是2048)，运算过程“失之毫厘，差之千里”；除非可以抛弃幂次方运算，某个因子差几倍也没关系。

引用 6 楼 feiyangdn 的回复:
大概约为
1-(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)......(1-1/pn)
其中p1-pn是从2到65536之间的所有素数（包括2）

这个明显是错误的，怎么可能和2^1024这个数毫无关系呢？
引用 6 楼 feiyangdn 的回复:
解释：
任意一个整数(很大)，被2整除的概率为1/2, 在不被2整除的前提下被3整除的概率为1/3，同时不被2和3整除的情况下被5整除的概率为1/5。。。。。。
这没有去证明，只有素数序列才能满足上面的规则。

您应该没有看清问题，要求是“完全分解质因子”，不过也谢谢你的回复。

谢谢大家的关注，继续等待...
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[daidodo]

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