一个数学推导的问题

[chinese_zmm]

从n1! = 100n! => n1 < n + log100
这步看得不太明白，不知道那位能用数学方法推导一下，或者描述一下推导的思想也可以。

[arong1234]

其实n1!=100n!
得出100=n1/n
且100必须是连续整数乘积，其实满足条件的组合只有1个，也就是n=99, n1=100

[zhengjiankang]

n1!/n!=100;n1-n<log100;
<-log(n1!/n!)>n1-n;
<-logn1!-logn!>n1-n;
<-logn1!-n1>logn!-n;
<-(logn1-1)+(log(n1-1)-1)+...+(log1-1)>(logn-1)+(log(n-1)-1)+...+(log1-1)
当n>e时时肯定成立的，当n<e的时候呢，就那么2个数，放进去看看

[arong1234]

要真想推导，应该考虑斯特灵公式和e^x是纯凸函数这两条进行推导
不过我觉得毫无意义，根据n1!=100n!已经可以得出n必然等于99，n1必然是100了

[liuxiaobing2008]

2楼正解

[zeroieme]

log(n1!)=log(n1)+log(n1-1)+……
log(100n!)=log100+log(n)+log(n-1)+……
……

[fire_woods]

log(n1!) = log(n!)+log100 => n1 <n+log100;

这样也行?

[qiuzhenguang]

我也不会啊，向各位学习！
6楼兜了一个圈，可以直接这样：n1! = 100n! => log(n1!) = log(100n!) => log(n1!) = log(n!)+log100

关键一步我没看明白啊，就是7楼的疑问：
“log(n1!) = log(n!)+log100 => n1 <n+log100;

这样也行? ”

[fire_woods]

定义非负实数n!如下
n!=n*((n-1)!)当n>1
=1当0<=n<=1

楼主的命题还成立吗?

[qiuzhenguang]

n1!=100n!
=> n1>n
=> 两边同除以n!有：(n+1)(n+2)(n+3)...n1=100 等式左边是（n1-n）项。

情况一：上式两边同取以(n+1)为底的对数，记log(n+1)(x)为Log(x)
=> Log((n+1)(n+2)(n+3)...n1)=Log100
=> Log((n+1))+Log((n+2))+Log((n+3))+...+Log(n1)=Log100 等式左边是（n1-n）项。
=> (n1-n)*Log(n+1)<Log100
=> 由于Log(n+1)＝1 (因为Log(x)底数为(n+1)),得到下式：
=> n1-n<Log100
=> n1<n+Log100 (其中Log是以(n+1)为底的对数)


情况二：上式两边同取n1为底的对数，记log(n1)(x)为LOG(x)
=> LOG((n+1)(n+2)(n+3)...n1)=LOG100
=> LOG((n+1))+LOG((n+2))+LOG((n+3))+...+LOG(n1)=LOG100 等式左边是（n1-n）项。
=> (n1-n)*LOG(n1)>LOG100 (注意大于号)
=> 由于LOG(n1)＝1 (因为LOG(x)底数为n1),得到下式：
=> n1-n>LOG100
=> n1>n+LOG100 (其中LOG是以(n1)为底的对数)

结论出来了!
如果取以(n+1)为底的对数，那么n1<n+Log100 ；如果取以n1为底的对数那么n1>n+LOG100 .
证毕。

当取底数k<n+1时，例如k=10,此时计log(10)(x)为logx,由于log100>Log100,则符合情况一。

举例：100!=100*99!
后面的就不写了。。。。。

[qiuzhenguang]

只要n>10，那么取以10为底的对数时，不等式就是成立的。

[perfecttt]

n1! = 100n! => n1!/n!=100 =>log(n1!/n!) = log100=> log(n1!) -log(n!) = 100
=>log(n1!) = log(n!)+log100 => n1<n+log100;