子集“差”问题，可爱的NP

[kissfromlt]

问题：设S是数集合{1,2,3,……,2003}的一个子集合,
且S中任意两个数的差的绝对值不等于8或14.问S最多可以包含多少个数 ？

类比：子集和问题
Description
子集和问题的一个实例为〈S,t〉。其中，S={x1,x2,...,xn}是一个正整数的集合，c
是一个正整数。子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使得x∈S1,∑x=c.
试设计一个解子集和问题的回溯法。
«编程任务：
对于给定的正整数的集合S={x1,x2,...,xn}和正整数c，编程计算S 的一个子集
S1，使得x∈S1,∑x=c.
Input
由文件input.txt 提供输入数据。文件第1 行有2 个正整数n 和c，n 表示S 的大小，c
是子集和的目标值。接下来的1 行中，有n 个正整数，表示集合S 中的元素。
Output
程序运行结束时，将子集和问题的解输出到文件output.txt中。
当问题无解时，输出“No Solution!”。
Sample Input
5 10
2 2 6 5 4
Sample Output
2 2 6 出自《算法设计与实验题解》第9章 NP完全性理论与近似算法作者王晓东


参考：设S是数集合{1,2,3,……,1989}的一个子集合,
且S中任意两个数的差不等于4或7.问S最多可以包含多少个数
解 ：1,4,6,7,9这五个数中任何两个的差都不是4或7.各加11
得12,15,17,18,20,显然也是这样的数,而且各与前5个数中任一
个的差也不是4或7,这样类推,每次连续十一个数中可取五个,一起组
成集合S(注意1989=11×180+9,最后只有九个数1981,…,1989,但仍
可取五个数1981,1984,1986,1987,1989).那么S包含的数的个数是
5×181=905.
现证S不可能包含更多的数.若不然,则上述181组数中至少有一
组可以从取六个数,使得两两的差不是4或7.不妨考虑1,2,…11这
组数,把它划分成五个小组:
(4,7,11),(3,10),(2,6),(5,9),(1,8)
其中至少要求有一个小组要取出两个数.显然后面四对数的每一对都不
能同时取出,只能在第一小组中取4,7.于是(3,10)中只能取10,(2,
6)中只能取2,(5,9)中只能取5,(1,8)中两个数都不能取,也就是不
可能取得第六个数.从而得证.
最后，这是NP问题，请大家编程解答吧 《编程之美--微软技术面试心得》提到此问题有3个算法

[sosidami]

关注。。。。以前好像碰到过类似问题。。记不太清楚了。。

[showjim]

如果下面的参考成立的话，上面的问题拆成奇偶两个集合就变成了同一个问题了。

[showjim]

构建最小冲突结构
X-7,X-4,(X-3),(X),(X+3),X+4,X+7 => 1??10??0??0 1??10??0??0 ...
位图表示法可以推出两种最优子结构，其实只有一个，因为他们相互为对衬反序列。
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
=>x+1,x+3,x+4,x+6,x+9(+11n)
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
=>x+1,x+4,x+6,x+7,x+9(+11n)

[showjim]

构建最小冲突结构
X-7,X-4,(X-3),(X),(X+3),X+4,X+7 => 1??10??0??0 1??10??0??0 ...
位图表示法可以推出两种最优子结构，其实只有一个，因为他们相互为对衬反序列。
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
=>x+1,x+3,x+4,x+6,x+9(+11n)
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
1??10??0??01??10??0??0
=>x+1,x+4,x+6,x+7,x+9(+11n)