一个整数列靠拢的问题

[zeroieme]

给出一组已经排序的整数列A={a1,a2,……an}，要求得到符合下面要求的整数列B={b1,b2,……bn}。
1、两数列之和相等；
2、相对的次序不变。如a1<a2，则要求b1<=b2;如a1=a2,则必须b1=b2；
3、符合1、2条件下数列B的方差最小。
（令数列相对靠拢）



假如两数列之和恰好被n整除就整个数列等于平均数，多数情况并不那么理想。

[绿色夹克衫]

用DP应该可以解，不过搜索范围可以先用上面的构造法得出2个近似解（大、小各一个），
然后在这个区间用DP应该可以解。

最近的研究表明我似乎只会用DP，对于大部分问题的回答是，“用DP应该可以解”

[hua_zhixing_]

没大看懂题目……

[FancyMouse]

假设a1+a2+...+an=xn+y,y=0,1,...,n-1，那么bi如下构造。假设ai是数组里第j小的数。如果j<y那么bi=x。否则bi=x+1。

[qiuzhenguang]

提供一个可能行的思路，不知道楼主有没有学过图像处理，里面有一种方法叫做“灰度直方图均衡”，就是把图像的值尽量均匀的分散到（0,255）区间。你现在的要求不是分散，而是靠拢，应该也可以套用类似的思想。只不过要有一些逆向思维。

[fire_woods]

假設S=a1+a2+……an;
有浮點數最優解.
b1=b2= ... =bn=S/n

剩下的問題就是怎么把S-(int)(S/n)*n,分配到bi中去.
從方差的角度來講,應該是{bi}序列中最后S-(int)(S/n)*n個數加1即可.

[fire_woods]

但是剛好在不加1和加1的臨界處,ak=ak+1的話,就有點麻煩,還沒想好整體算法.

[zeroieme]

[Quote=引用 6 楼 fire_woods 的回复:]
但是刚好在不加1和加1的临界处,ak=ak+1的话,就有点麻烦,还没想好整体算法.
[/Quote]
目前最头痛的就是这个

[qiuzhenguang]

解：首先，如果我们上述3个条件都考虑，但是条件2我们放弱一点：“如a1 <＝a2，则要求b1 <=b2”。那么我们很容

易得到一种解法如下：求序列之和sum，设k=sum/n,r=sum%n;那么，整数列B为前(n-r)个是k，后r个是(k+1),这时它们

的方差是最小的。
其次，我们再把条件2收紧：......这个问题还要再想想。

[qiuzhenguang]

首先统计，设有m段数字相同，第i段的起止区间下标记为(bi,fi);
那么m段区间为(b1,f1),(b2,f2),...,(bi,fi),(bm,fm)
在结果序列B中，这些区间内的数字是必须相同的，称这些区间为不可分割区，
这样，也就得到了可分割区(1,b1),(f1,b2),(f2,b3),...,(fi,bi+1),...,(fm,n);

记k=sum(A)/n,r=sum(A)%n;
(1)如果(n-r)落在可分割区，即fi<(n-r)<bi+1,那么可以得出前(n-r)个数是k,后r个数是k+1;
(2)如果(n-r)落在不可分割区，那么找出包含(n-r)的区间(bi,fi),fi前面的赋值为k,后面的赋为k+1;
这样，还剩下r-(n-fi)个1,对这些剩下的1的分配过程，其实与前面对r个1的分配过程类似:重复上述(1)(2)过程。

注:“bi+1”中(i+1)是下标。

[zeroieme]

[Quote=引用 9 楼 qiuzhenguang 的回复:]
首先统计，设有m段数字相同，第i段的起止区间下标记为(bi,fi);
那么m段区间为(b1,f1),(b2,f2),...,(bi,fi),(bm,fm)
在结果序列B中，这些区间内的数字是必须相同的，称这些区间为不可分割区，
这样，也就得到了可分割区(1,b1),(f1,b2),(f2,b3),...,(fi,bi+1),...,(fm,n);

记k=sum(A)/n,r=sum(A)%n;
(1)如果(n-r)落在可分割区，即fi <(n-r) <bi+1,那么可以得出前(n-r)个数是k,后r个数是k+1;
(2)如果(n-r)落在不可分割区，那么找出包含(n-r)的区间(bi,fi),fi前面的赋值为k,后面的赋为k+1;
这样，还剩下r-(n-fi)个1,对这些剩下的1的分配过程，其实与前面对r个1的分配过程类似:重复上述(1)(2)过程。

注:“bi+1”中(i+1)是下标。
[/Quote]

这样会使数列尾项过大，同时不一定有解。
原始数列 {2，6，6，6，6，6，6，7，7}
弱化条件2 {5，5，6，6，6，6，6，6，6}

按9楼方法 {5，5，5，5，5，5，5，8，9}，而且方差比原始数列更大。

较好的方案{4，6，6，6，6，6，6，6，6}

[FancyMouse]

那也就是说先把相同的数收缩掉，变成ai数组，然后有个辅助的ci数组记录重数。然后尝试构造bi数组。偶们知道bi数组的平均值是定值，所以只需要最小化平方和。假设ai是严格递增的情况下，bi不严格递增，所以估计可以用dp，但要做到强多项式还是要把界给卡一下。

[qiuzhenguang]

那就不要取k=sum(A)/n 和 r=sum(A)%n
而是取得更小一点的k值，我认为，k可以取到k=sum(A)/n-m; 其中m是前述的区间总数。(k的下限应该是可以证明的，不会小于sum(A)/n-m，但是我没证明哦)
这时r=sum(A)%n + m*n;
再用这个 r 的代替9楼的 r 去递归.

[zeroieme]

回复#12楼

感觉上，k越小，越有可能尾项过大。

递归不能避免“剩下r-(n-fi)个1”小于最后区间(bm,fm) 的情况。

[zeroieme]

因为实际产生数据的不可分割区较大，因而不可分割区数量减少。所以采取全循环搜索。

[daidodo]

mark