请问怎么求出f(x)=f(x-1)+f(x-2)通项？

[vczxh]

最好是写出推导过程。

[zhengjiankang]

楼主知道特征方程不
f(x)=f(x-1)+f(x-2)的特征方程为x^2 = x + 1
解此方程得到解x1和x2
于是通项为f(n) = a * x1^n + b * x2^n
利用初值f(0), f(1)代入通项得到2元1次方程组解得a，b即得通解

[bjq19841220]

f(x)=f(x-1)+f(x-2)
f(x-1)=f(x-2)+f(x-3)
f(x-2)=f(x-3)+f(x-4)
.
.
.
f(4)=f(3)+f(2)
f(3)=f(2)+f(1)
作和得：
f(x)=f(2)+[f(1)+f(2)+...+f(x-2)]
或许我很菜 但是只能到这一步了 敢问楼主这是从哪里摘得问题 还是楼主自己想的？

[bjq19841220]

2楼强人 - -虽然不懂 顶个

[zhengjiankang]

[Quote=引用 4 楼 bjq19841220 的回复:]
2楼强人 - -虽然不懂 顶个
[/Quote]
也许我没讲清楚为什么
根据那个特征方程的解得特性我们有
x1^2 = x1 + 1
x2^2 = x2 + 1
然后又有初值代入得到的2个等式分别是
f(0) = a * x1^0 + b * x2^0
f(0) = a * x1^1 + b * x2^1
然后可以归纳法
f(n-1) + f(n - 1) = a * x1^n-1 + b * x2^n-1 + a * x1^n-2 + b * x2^n-2
= a * x1^n-2(x1 + 1) + b * x2^n-2(x2 + 1)
= a * x1^n + b * x2^n
通项为 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 对比下得到结果

[fire_woods]

f(x)=f(x-1)+f(x-2)
我們想轉化為下面的形式

f(x)-k*f(x-1)=s*(f(x-1)-k*f(x-2))
展開后有:
f(x)=(k+s)f(x-1)-k*s*f(x-2)
即k+s=1, -k*s=1;
k和s即x*x-x-1=0的兩個解.

現在令g(x)=f(x)-k*f(x-1),則有
g(x)=s*g(x-1)=s^(x-1)*g(1)
所以
f(x)=g(x)+k*f(x-1)=s^(x-1)*g(1)+k^(x-1)*f(0)
f(0)和f(1)已知,所以g(1)也已知.
上面的就是通向.

另外如果是f(x)=C1*f(x-1)+C2*f(x-2)
解方程組k+s=C1, -k*s=C2;即可, 其他的均不變.

[C1053710211]

Fibonacci数列是二阶常系数齐次线性递推关系，令f(n)=q^n,
有这个定理，常系数线性齐次递推关系
fn-a1fn-1-a2fn-2-...-akfn-k=0有解,当且仅当q是方程
x^k-a1x^(k-1)-a2x^(k-2)-...-ak=0
于是Fibonacci数列的解就是x^2-x-1=0的解x1=(1+sqrt(5))/2,和x2=(1-sqrt(5))/2
于是fn=c1*x1+c2*x2,f0=0,f1=1初值带入通解fn解得c1=1/sqrt(5),c2=-1/sqrt(5),

[chuengchuenghq]

gao shou

[dandievan]

这是组合数学里的问题，
可以证明f(x) = f(x-1)+f(x-2) （*）
f(x) = c1*(q^x) 是 （*）的一个解，
那么对(*)其特征方程为 q*q - q - 1 = 0
可以求成q1,q2两个解，f(x) = c1*(q1^x) + c2*(q2^x) （1）
如果有初始值的话可以代入（1）式求出c1，c2

[zwd2005]

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

[qiuzhenguang]

Fn+1 Fn 1 1
= ( ）^n
Fn Fn-1 1 0

[wjavap]

这是一道组合数学中的求递推关系的问题，根据其定义和定理应当这样来做：
此题实际上是求 f(n)=f(n-1)+f(n-2)的通项。
（1）首先，它属于常系数线性齐次递推关系，特征方程为：

X的平方-X-1=0；

解方程得：X1=1+根号5 ； X2=1-根号5

（2）由定理：

f(n)=C1*(1+根号5)的n次方+C2(1-根号5)的n次方

（3）对于C1和C2的求解，需要知道初始条件才可以求。


注：关于此方法的定理可以去参见组合数学递推关系那部分的关于常系数线性齐次递推关系的求解的知识。

[yhcmsh]

public void foo(int n)
{
if(n<2)
return n;
else
return foo(n-1)+foo(n-2);
}

[taowan]

如果不会解通项公式，就直接按照矩阵乘法进行计算即可

[a293300202]

用递归就行了吧。

[shujuwhj]

kan kan

[lz3771]

使用递推关系，列出特征方程就可以求出

[hehe300]

good

[lxfhfut]

[lxfhfut]

错了 不好意思 呵呵 是：

[Debugcool]

斐波那契数列 其实完全可以用矩阵连乘实现