求整数分解和数目的表达式

[ominnc]

已知正整数n,
求n表示为其他正整数之和的所有可能性的表达式？
比如4可以表示为
4=1+3
4=2+2
4=1+1+2
4=1+1+1+1
所以整数4可以共有4种表示为其他正整数和的可能性。
求高手赐教！

[berryluo]

对于n，考虑所有1<=k<=n的k,
考虑n的和表达式中最大值为k，那么此时问题转化为n-k的和表达式中最大值不超过k的问题，问题规模有所减少；把k的值从1取到n，这样就能递归地求出所有可能的和，不过至于这个的复杂度，我也不知道

[berryluo]

按上面我说的思路，写了个代码，供楼主参考，正确性没完全验证
得到7，8的和形式如下：
7
7 = 7
7 = 6 + 1
7 = 5 + 2
7 = 5 + 1 + 1
7 = 4 + 3
7 = 4 + 2 + 1
7 = 4 + 1 + 1 + 1
7 = 3 + 3 + 1
7 = 3 + 2 + 2
7 = 3 + 2 + 1 + 1
7 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1
7 = 2 + 2 + 2 + 1
7 = 2 + 2 + 1 + 1 + 1
7 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Press any key to continue
8
8 = 8
8 = 7 + 1
8 = 6 + 2
8 = 6 + 1 + 1
8 = 5 + 3
8 = 5 + 2 + 1
8 = 5 + 1 + 1 + 1
8 = 4 + 4
8 = 4 + 3 + 1
8 = 4 + 2 + 2
8 = 4 + 2 + 1 + 1
8 = 4 + 1 + 1 + 1 + 1
8 = 3 + 3 + 2
8 = 3 + 3 + 1 + 1
8 = 3 + 2 + 2 + 1
8 = 3 + 2 + 1 + 1 + 1
8 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
8 = 2 + 2 + 2 + 2
8 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1
8 = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
8 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Press any key to continue

#include <stdio.h>
#include <string.h>

/**
*	把n为解为和式中最大值不超过k的和的形式，其中m<=n,
*	表示n中还剩余的没有分出去的值,和形式中至少有一个k
*/
void getSum(int n, int m, int k, char *str, int rightNum)
{
	char outPut[1024];
	char temp[20];
	int loop;
	if(n == m) {
		sprintf(outPut, "%d = ", n);
	} else {
		strcpy(outPut, str);
	}
	if(m == k) {
		printf("%s", outPut);
		if(rightNum > 0) printf(" + ");
		printf("%d\n", k);
	} else {
		if(rightNum > 0){
			sprintf(temp, " + ");
			strcat(outPut, temp);
		}
		sprintf(temp, "%d", k);
		strcat(outPut, temp);
		if(m - k >= k) getSum(n, m - k, k, outPut, rightNum + 1);//优先考虑有多个k的情形
		loop = (m - k) >= k ? (k - 1) : (m - k);//接着考虑至少有一个k的情形
		for(; loop >= 1; loop--) {
				getSum(n, m - k, loop, outPut, rightNum + 1); 
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	int loop;
	char outPut[1024]={'\0'};
	scanf("%d", &n);
	for(loop = n; loop >= 1; loop--) {
           //如果分解的和形式不包括n = n，这里初始化的时候改成loop = n - 1即可
		getSum(n, n, loop, outPut, 0);
	}
	return 0;
}

[ominnc]

谢谢berryluo的热心答复，你的思路不错。
可是，我想得到的是计算所有可能性数目的计算公式F(n).

[berryluo]

计算F(n)还是可以用我上面说的方法呀，同样是可以考虑1<=k<=n
F(n) = f(n)(1) + f(n)(2) + ... + f(n)(n)
其中f(n)(k) (1<=k<=n)表示把n分解为和式为n时加数中最大值不超过k的和式的个数
而f(n)(k) =f(n-k)(k) + f(n-k)(k-1) + ... + f(n-k)(1)
这里对于 f(i)(j)，如果i < j，则f(i)(j) = 0;如果i == j ，则f(i)(j) = 1
复杂度为O(n^3)，应该算是一个简单的动态规划吧
当然这里的式子应试是还可以简化的，《组合数学》里好像有这个题的公式和证明的

[berryluo]

书名说错了，是《具体数学》这本书里

[lipeng8821]

太复杂了。。。想不出来