一个‘级数收敛性’的问题

[hehe300]

累加函数1：
∑(x的n次方)
（注意：累次相加∑的范围是从0到∞），

它的收敛域是 -1<x<1

累加函数2：
∑(x的n+1次方)/(n+1)
（注意：累次相加∑的范围是从0到∞），
这个函数的收敛域是
-1≤x<1(注意：代表x小于1，并且大于等于1)

啊
---P173.4
————————————————
我的问题是，两个函数的收敛域是如何计算出来的啊 ，实在不会了，恳请会此算法的

————————————————

我查了收敛域和发散域
的相关概念：
即是
收敛域：
在累加函数中 ∑Xn(x)
（注意：累次相加∑的范围是从n=1到n=∞）红色

所有收敛点的全体称为它的‘收敛域’
所有发散点的全体称为它的‘发散域’
--kaosu(P185)



但是，还是没有弄明白，寻求热心人帮忙指教

[acdbxzyw]

你還是看看書吧。。。
《高等數學》 無窮級數

[hua_zhixing_]

[Quote=引用 1 楼 joanlynnlove 的回复:]
你還是看看書吧。。。
《高等數學》 無窮級數

[/Quote]
同意楼上，其实也是不大清楚，呵呵

[arong1234]

对于级数∑R(n) * x^n
其中R(n)表示第n项的系数，x^n表示n次方
其收敛区间等于
R(n)/R(n+1)当n趋于无穷大时的解

这个计算得到的区间(-r,r)是个开区间。对于开区间的边界是不是收敛，需要具体问题具体分析

对于你给的两个例子，∑ x^n按照上述算法得到的区间为(-1,1)，在边界上x=1,x=-1显然都不收敛
对于∑ x^n/(n+1)，算得得区间还是(-1,1)，在x=1时，显然不收敛，x=-1显然收敛（如果楼主学习过高数，那么高数在讲级数时也许讲过x=1和x=-1时这两个级数得收敛情况

[suiyili]

the first one,set Q = 1+ x + x^2 + x^3 + ..+ x^n..∞,
=> Q - 1 = x + x^2 + x^3... => (Q -1)/ x = 1 + x + x^2 + ... = Q
since Q = (Q - 1) / x => Q = 1/(1-x); (x<>0).

the second one: set P = x + x^2/2 + x^3/3 + ..x^(n+1)/(n+1)..∞
then P' = 1+ x + x^2 + x^3 + ..+ x^n.. = Q
so, P = integral(Q) = integral(1/(1-x))=-ln(1-x);

[zhengjiankang]

[Quote=引用 4 楼 suiyili 的回复:]
the first one,set Q = 1+ x + x^2 + x^3 + ..+ x^n..∞,
=> Q - 1 = x + x^2 + x^3... => (Q -1)/ x = 1 + x + x^2 + ... = Q
since Q = (Q - 1) / x => Q = 1/(1-x); (x <>0).

the second one: set P = x + x^2/2 + x^3/3 + ..x^(n+1)/(n+1)..∞
then P' = 1+ x + x^2 + x^3 + ..+ x^n.. = Q
so, P = integral(Q) = integral(1/(1-x))=-ln(1-x);
[/Quote]

问题是求出来了，可是你想过没有x能不能做除数呢。
如果是做一个数学题，扣分那可是相当严重的哈。

[zhengjiankang]

[Quote=引用 3 楼 arong1234 的回复:]
对于级数∑R(n) * x^n
其中R(n)表示第n项的系数，x^n表示n次方
其收敛区间等于
R(n)/R(n+1)当n趋于无穷大时的解

这个计算得到的区间(-r,r)是个开区间。对于开区间的边界是不是收敛，需要具体问题具体分析

对于你给的两个例子，∑ x^n按照上述算法得到的区间为(-1,1)，在边界上x=1,x=-1显然都不收敛
对于∑ x^n/(n+1)，算得得区间还是(-1,1)，在x=1时，显然不收敛，x=-1显然收敛（如果楼主学习过高数，那么高数在讲级数时也许讲过x=1和x=-1时这两个级数得收敛情况

[/Quote]

这位荣哥是学数学的哇。

[qiuzhenguang]

楼上皆牛人，学习了。
总结出一点：第一题用等比级数，公比为x；第二题先求导，后积分。

[arong1234]

这种级数是有标准求解方法得，不需要这么麻烦
[Quote=引用 4 楼 suiyili 的回复:]
the first one,set Q = 1+ x + x^2 + x^3 + ..+ x^n..∞,
=> Q - 1 = x + x^2 + x^3... => (Q -1)/ x = 1 + x + x^2 + ... = Q
since Q = (Q - 1) / x => Q = 1/(1-x); (x <>0).

the second one: set P = x + x^2/2 + x^3/3 + ..x^(n+1)/(n+1)..∞
then P' = 1+ x + x^2 + x^3 + ..+ x^n.. = Q
so, P = integral(Q) = integral(1/(1-x))=-ln(1-x);
[/Quote]

[tlx20093A]

顶一下！！

[hehe300]

[hehe300]

http://v7.freep.cn/3tb_09112400195259jk325656.jpg

[hehe300]

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