弱弱地问一道数学题

[AAA20090987]

问题：
求下面同余系统的所有解
x = 1 (mod 2)
x = 2 (mod 3)
x = 3 (mod 5)
x = 4 (mod 11)
（以上所有的‘=’都是三条杆的，但我打不出来，只好用‘=’代替）

答案是：323 + 330k (k是整数）
我求了很久都得不到正确的结果，请大家帮一下忙吧（最好写出过程）。先谢谢了。

[pw_Start]

x = 1 (mod 2) （1）
x = 2 (mod 3) （2）
x = 3 (mod 5) （3）
x = 4 (mod 11) （4）
从11开始考虑，找到一个同时满足四个求余式的最小值，然后这个最小值加上2x3x5x11的整数倍就是结果了，计算的过程如下：
1.先满足除11余4，取最小值4.
2.再满足除5余3，使(4+11*k)=3(mod 5)成立的最小k为4，所以满足(3)、(4)式的最小值为48.
3.再满足除3余2，使(48+11*5*k)=2(mod 3)成立的最小k为2，所以满足(2)、(3)、(4)式的最小值为158.
4.再满足除2余1，使(158+11*5*3*k)=1(mod 2)成立的最小k为1，所以满足(1)、(2)、(3)、(4)式的最小值为323.
所以最后的结果应该是323+2x3x5x11*k，即323+330k.

[PeacefulBY]

中国剩余定理，答案为：
1*(3*5*11)+2*(2*2*5*11)+3*(2*3*11)+4*(7*2*3*5)+2*3*5*11*k
化简得323+330k

[绿色夹克衫]

LS的方法也不错，但如果mod 后面跟的数比较大的话，效率可能有些问题。
最好是先通过欧几里得扩展求模逆，这样的话效率大概是log(n)，再通过模逆求解。

[alphaxiang]

扩展欧几里得算法
/* m*a+n*b＝gcd（m，n）*/ /*指针a，b指向求得的值 */

void exgcd(int m,int n,int *a,int *b) 
{ 
       int a1,b1,q,r,t,c,d; 
       a1=*b=1; 
       b1=*a=0; 
       c=m; 
       d=n; 
     while(r=c%d) 
   { 
     q  = c/d; 
     c  = d; 
     d  = r; 
     t  = a1; 
     a1 = *a; 
    *a  = t-q*(*a); 
     t  = b1; 
     b1 = *b; 
    *b  = t-q*(*b); 
   } 
} 
void solution( ) 
{ 
       int j,i=0; 
       int *ptr1,*ptr2,*ptr3,*ptr4,*a,*b; 
       int M=1; 
       int x=0; 

       printf("input how many datas in your problem:\n"); 
       scanf("%d",&n); 
       ptr1 = malloc( n*sizeof ( int ) );   /* 存放输入xi       */ 
       ptr2 = malloc( n*sizeof ( int ) );  /*  存放输入mi      */ 
       ptr3 = malloc( n*sizeof ( int ) ); /*   存放乘法逆元Si */ 
       ptr4 = malloc( n*sizeof ( int ) );/*    存放Mi       */ 

     if(( ptr1==NULL) || (ptr2==NULL) ||( ptr3==NULL) || (ptr4==NULL) ) 
   { 
        printf("error in memory malloc!\n"); 
        return; 
   } 
     for(j=0;j<n;j++) 
   { 
        printf("please input your %dth group data:  ",++i); 
        scanf("%d  %d",&ptr1[j],&ptr2[j]); 
        M *= ptr2[j]; 
   } 
     for(j=0;j<n;j++) 
   { 
       ptr4[j] = M/ptr2[j]; 
          exgcd(ptr4[j],ptr2[j],a,b); 
          ptr3[j]= *a; 
       while(ptr3[j]<0) 
     { 
        ptr3[j]+=ptr2[j]; 
     } 
   } 
     for(j=0;j<n;j++) 
   { 
        x+ = ( ptr1[j]*ptr4[j]*ptr3[j] )%M; 
   } 
   printf("%d",x); 
} 

void main（ ） 
{ 
solution(); 
getch(); 
} 

[AAA20090987]

明白了，谢谢大家。

原来我这个式子写反了：
1*(3*5*11)+2*(2*2*5*11)+3*(2*3*11)+4*(7*2*3*5)+2*3*5*11*k