数据拟合直线

[npuhuxl]

有一组数据要拟合一条直线

定义一个新距离函数
h(d)=d*d/2 d<=C
h(d)=C*(c-d/2) d>C
其中d是数据点与直线的距离(欧式距离),C是常数
d(x,y)=abs(a*x+b*y+c)/sqrt(a*a+b*b);
求直线a*x+b*y+c=0;使得sum(d)最小
应该用什么方法？

[npuhuxl]

不好意思写错了，应该是：

h(d)=d*d/2 d <=C
h(d)=C*(d-C/2) d>C

[绿色夹克衫]

d=2C时，h(d) = 0？

[rapo]

Least Square method should do the trick for you

[cudars]

用最小二乘法应该可以。

[bigc2000]

楼上的，楼上的楼上，都不对，

最小方差，不是距离之和 最小，是距离平方和最小，这两个不是同一概念

h(d)是啥？哪里用到？

[npuhuxl]

就是要让所有数据点的h和最小！
sum(h(d))最小

[donkey301]

（１）我觉得距离是什么形式没有关系，sum(h(d))必然是一个关于a,b,c的函数
f(a,b,c)
那么想要f(a,b,c)最小，只需要让f对a,b,c分别求偏导数等于零就行了，这样就得到三个方程组成的非线性方程组，含有三个未知数，用matlab或者自己写程序迭代求解。
（２）难的是求导数会遇到两个分段函数h(d)和abs(a*x+b*y+c),无法确定参数属于哪段，所以最好有一种方法可以预估d和a*x+b*y+c的范围。可以先用最小二乘法求出a0,b0,c0的值
(3）可以求出d和a0*x+b0*y+c0的范围，从而知道两个分段函数h(d)和abs(a*x+b*y+c)应该取哪段，用(1)的方法求出a,b,c.然后作一个验证，看看d和a*x+b*y+c的范围是不是和你一开始估计的一样。
<1>如果一样，就停止，取a,b,c
<2>如果不一样，那么用a,b,c作为a0,b0,c0重复(3)。我猜测总有一次判断成<1>的。

得到的不一定是最优解，但应该差不多，因为最小二乘法的判据和sum(h(d))都是随d的增加而增加的。
p.s.，实际上没必要三个参数的，直接设a=1好了。


还有一种比较暴力的方法，先用最小二乘法求出a,b,c,最优解应该在这个值的附近，譬如你可以假设不超过10%的范围内，那么把[a-a/10,a+a/10]分成1000等分，[b-b/10,b+b/10]分成1000等分，[c-c/10,c+c/10]分成1000等分，遍历1000*1000*1000个(a,b,c)的组合，求出sum(h(d))的最小值对应的a,b,c

[npuhuxl]

楼上的意思是不是通过迭代直到sum（h（d））最小（或大致不再变化），求出参数的解？
想法非常好！谢谢你！

同时希望还有人提出其他方法！

[绿色夹克衫]

迭代的方法恐怕有些问题，因为有3个数不确定，迭代的复杂度太高了，
另外不知道会不会出现局部极点的情况，另外如果点散的比较远，以1000划分，恐怕精度也有些问题。

如果是迭代，建议迭代角度和C，做2重迭代，第一重是角度，然后对该线在一定范围内做平移，找出最小值，
这部分，开始的精度可以不那么准，迭代出一定范围之后，在这个范围内用更高的精度再次迭代，
直到达到很高的精度。此方法同样适用于角度的迭代。

[Quote=引用 8 楼 npuhuxl 的回复:]
楼上的意思是不是通过迭代直到sum（h（d））最小（或大致不再变化），求出参数的解？
想法非常好！谢谢你！

同时希望还有人提出其他方法！
[/Quote]

[yymt168]

1 把方程改写成 y=kx+d形式
2 写出sum(d)的公式(此时可以根据数据进行分段处理),然后sum(d)分别对k,b进行求导并令其分别等于0
联立两个方程,可以解出两个未知数,k,d
3 把k,d转换成a,b,c即可
4 总结:此问题只是最小二乘问题的灵活运用..