请教一个概率问题

[knightzhuwei]

题目情景如下：

有A、B、C三个盒子 其中的一个盒子里放有宝物
甲知道宝物的位置 而乙不知道
现在甲声称：乙可以选择其中一个盒子 若恰好选中有宝物的盒子 则宝物就归乙所有
当乙选定其中的一个盒子例如A 而未打开时 B、C盒子中至少有一个是没有宝物的
于是甲打开其中没有宝物的盒子比如C 同时又声称 乙可以更换开始的选择 也就是在A,B中选择一个

问
这时的乙更不更换所选的盒子对选中宝盒是否有影响？
乙这时不改变选择选中宝盒的概率是多少？
改变选择后选中宝盒的概率是多少？
做出判断的依据是什么？

[ntcome]

按我的理解：
如果乙不更换所选的盒子，选中宝盒的
概率=1/3*1=1/3
如果乙更换所选的盒子，选中宝盒的
概率=2/3*1=2/3

[arong1234]

这个是个著名的争论，争论的起因是很多人惘顾事实，在已经打开一个盒子之后，计算概率还是用打开盒子之前的样本群来计算的

很显然，当甲打开一个盒子之后，所有之前的选择和现在的选择已经没有任何关系了。剩下的两个盒子乙还是不知道哪个有宝物，且他们在哪个盒子不会因为甲打开一个盒子而发生概率变化。答案应该是各有1/2概率

[ntcome]

第一次选择，事件A，第二次选择，事件B

事件A时，选中宝物的概率Pa1=1/3，不选中的概率为Pa2=2/3;
事件B受事件A影响，事件B分为两种情况：
当不更改选择时，事件B只有一种选择：选择手里面那个，即概率为Pb1=1;
当更改选择时，事件B也只有一种选择:选择不在手里面的那个，即概率为Pb2=1;

你可以考虑下，有4个盒子的情况：
当不更改选择时概率=1/4*1=1/4;
当更改选择时的概率=3/4*1/2=3/8

[Cody_Yu]

一楼正解呀，肯定是会变化的。2/3在一开始你没选择的那两个盒子里面，而甲打开其中一个空盒子（一定有的）不影响这两个盒子的2/3概率，但是打开的盒子是0已经确定了，所以另外一个盒子自己独享2/3概率。自己写程序可以验证这个概率。
这个问题在十年前的《读者》上面见过。

[knightzhuwei]

我写了个程序来验证这个情景

public class Problem {

	public static void problem(boolean flag, int times) {
		int count = 0;
		for (int i = 0; i < times; i++) {
			int[] boxs = new int[3];//三个盒子
			int index = (int) (Math.random() * 3);//有奖的盒子所在
			boxs[index] = 1;
			int choose = (int) (Math.random() * 3);//初次选择
			
			//打开剩下两个盒子中的空盒子
			int reflct = (int) (Math.random() * 3);
			while (reflct == choose || boxs[reflct] == 1) {
				reflct = (int) (Math.random() * 3);
			}
			
			
			if (flag) {
				for (int j = 0; j < 2; j++) {
					if (j != choose && j != reflct) {
						if (boxs[j] == 1) {
							count++;
						}
					}
				}
			} else {
				if (boxs[choose] == 1) {
					count++;
				}

			}
		}
		if(flag){
			System.out.println("若选择换，"+times+"次试验得选中概率为"+(count*1.0/times));
		}else{
			System.out.println("若选择不换，"+times+"次试验得选中概率为"+(count*1.0/times));
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		problem(true, 5000);
		problem(false, 5000);
	}

}

三次运行5000次的结果是
1、
若选择换，5000次试验得选中概率为0.4528
若选择不换，5000次试验得选中概率为0.3342

2、
若选择换，5000次试验得选中概率为0.4418
若选择不换，5000次试验得选中概率为0.3352

3、
若选择换，5000次试验得选中概率为0.4548
若选择不换，5000次试验得选中概率为0.3416

很奇怪 加起来并不是1 选择不换的概率应该是1/3没错 但是选择换的概率在0.45左右 是我的程序模拟有问题么？

[knightzhuwei]

换了种打开剩下两个盒子中的空盒子的算法 结果依然不变

public class Problem {

	public static void problem(boolean flag, int times) {
		int count = 0;
		for (int i = 0; i < times; i++) {
			int[] boxs = new int[3];//三个盒子
			int index = (int) (Math.random() * 3);//有奖的盒子所在
			boxs[index] = 1;
			int choose = (int) (Math.random() * 3);//初次选择
			
			//打开剩下两个盒子中的空盒子
			int reflct=-1;
			for (int k = 0; k < 2; k++) {
				if(k!=choose&&boxs[k]==0){
					reflct=k;
					break;
				}
			}
			
			if (flag) {
				for (int j = 0; j < 2; j++) {
					if (j != choose && j != reflct) {
						if (boxs[j] == 1) {
							count++;
						}
					}
				}
			} else {
				if (boxs[choose] == 1) {
					count++;
				}

			}
		}
		if(flag){
			System.out.println("若选择换，"+times+"次试验得选中概率为"+(count*1.0/times));
		}else{
			System.out.println("若选择不换，"+times+"次试验得选中概率为"+(count*1.0/times));
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		problem(true, 5000);
		problem(false, 5000);
	}

}

[ntcome]

for (int i = 0; i < times; i++) {
int[] boxs = new int[3];//三个盒子
int index = (int) (Math.random() * 3);//有奖的盒子所在
boxs[index] = 1;



觉得这里有点问题：
每次试验，中奖的盒子的位置都是应该是固定的。
所以应该改为：
int[] boxs = new int[3];//三个盒子
int index = (int) (Math.random() * 3);//有奖的盒子所在
boxs[index] = 1;
for (int i = 0; i < times; i++) {
int choose = (int) (Math.random() * 3);//初次选择

[arong1234]

读者毕竟不是数学刊物，他上面的东西不一定就是对的。我估计这个争论需要一个权威出来才能让大家信服

引用 4 楼 cody_yu 的回复:

一楼正解呀，肯定是会变化的。2/3在一开始你没选择的那两个盒子里面，而甲打开其中一个空盒子（一定有的）不影响这两个盒子的2/3概率，但是打开的盒子是0已经确定了，所以另外一个盒子自己独享2/3概率。自己写程序可以验证这个概率。
这个问题在十年前的《读者》上面见过。

[arong1234]

问题在于：在掀开一个盒子之后，对盒子有没有宝物的概率和开始三个盒子的情况完全不一样。此时还是用3个盒子为起点来模拟本身就是错误的，因此必然结果也不对

引用 7 楼 ntcome 的回复:

for (int i = 0; i < times; i++) {
            int[] boxs = new int[3];//三个盒子
            int index = (int) (Math.random() * 3);//有奖的盒子所在
            boxs[index] = 1;
         


觉得这里有点问题：
每次试验，中奖的盒子的位置都是应该是固定的。
所以应该改为：
            int[] boxs = new int[3];//三个盒子
            int index = (int) (Math.random() * 3);//有奖的盒子所在
            boxs[index] = 1;
            for (int i = 0; i < times; i++) {
                    int choose = (int) (Math.random() * 3);//初次选择

[ntcome]

你现在有个大箱子，可以装两个盒子；你也有一个小箱子，可以装一个盒子。

你现在随机在三个盒子里面选择一个盒子，放在小箱子里面；把另外两个放在大箱子里面。
现在你问题是，小箱子有宝物概率和大箱子有宝物的概率。（当你选择大箱子时，甲会帮你把空的盒子拿出来）

[gbb21]

P(X = 1) = 1/3
Because event t:(X != 2 || X != 3), P(t) = 1

P(X = 1 | t) = 1/3, if hold original selection

P(X != 1 | t) = 2/3, if make a change.