一个优化算法，有难度

[canoe982]

问题描述如下：
　　
　　设有一含有M个元素的集合S，有N个产生式，每个产生式的形式可以表示为P（s,d)，s,d均为S的非空子集。现设某用户希望由这N个产生式，得到一个目标集ud（也为S的非空子集），该用户可以提供一个源集us（为S的非空子集），us中的每个元素都附带一个权值c（权值各不相同）。请教一个算法，能够快速准确的找到us的一个子集，满足条件：（1）由该子集可以得到目标集ud；（2）该子集中各元素的权值之和是满足（1）的所有子集中最小的一个。

　　可以假定已经存在函数f(s,d)，可以判定由s是否可以得到d。当然，若s1是s2的子集，而f(s1,d)=1（表示由s1可以得到d)，则f(s2,d)=1。

　　由于可用分不多（只能20分），还望高手们赐教。

[jlr_6]

问题描述不清晰
UD究竟有什么特殊含义 仅仅只是S的子集就可以了么?
那干脆直接把US中权值最小的一个拿出来,认为是UD好了

[canoe982]

UD就是S的子集而已。如果直接取权值最小的那个，怎么能够保证其满足条件（1）？

为了说得列清楚一些，给一个简单具体的例子：
设在集体M＝｛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J｝，并有如下一些产生式：
P1({G，I},{F，D})、
P2({H,I},{C,J})、
P3({A,J},{I,E,H})、
P4({F},{B,G})、
P5({H},{A,D})、
P6({A,B},{C,E})、
P7({D},{C,G})
其中P1的含义是：如果已经G和I，就可以得到F或D。

现有某用户希望得到目标ud = {E,I},为此他需要提供一些前提,不妨设为us = {A,C,F,H}。
用户得到us中的前提是要付出代价的，假设得到A的代价为20，C为5，F为11，H为9。
现在的问题是：找到us的一个子集cus，满足由cus可以由上面的产生式集得到ud，并且cus中所有元素的代价和是最小的。
当然，如果由us都不能得到ud，返回不可满足信息即可。

[canoe982]

就没有人提供点什么想法吗？还是表述得实在不够清楚？

[yyq2008]

还是不够清楚！！！！

[罗耗子]

遍历us，找出所有满足cus条件的子集再比较输出最小代价那个。最简单的算法，估计不是最好的

[canoe982]

引用 7 楼 haozi8993 的回复:

遍历us，找出所有满足cus条件的子集再比较输出最小代价那个。最简单的算法，估计不是最好的

这当然是最简单的办法，但时间复杂度太高，是指数级别的啊。只有在us中元素比较小（比如小于10时）才有用啊。当然是不希望用这种方法了。

如果做不到最优，近似最优解也是不错的选择。

[canoe982]

　　3楼的表述有些文字错误，由于不能修改，当时没作处理，现在修改后重新帖出来。如果仍觉得不清楚，还望指出具体的不清楚之处。
　　设有集合M＝｛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J｝，并有如下一些产生式：
P1({G，I},{F，D})、
P2({H,I},{C,J})、
P3({A,J},{I,E,H})、
P4({F},{B,G})、
P5({H},{A,D})、
P6({A,B},{C,E})、
P7({D},{C,G})
每个产生式形如Pi（s,d)，s,d均为M的非空子集,其含义是：如果已知s中的所有元素，就可以推导出d中的任何元素。比如P1的含义是：如果已知G和I，就可以推导出F或D。

　　现有某用户希望得到目标ud = {E,I},为此他需要提供一些前提,不妨设为us = {A,C,F,H}。
作为用户，他希望需要提供的前提的代价是最小的。一般来说，us中的每个元素的获取都需要代价，假设得到A的代价为20，C为5，F为11，H为9。 （可认为该用户不能直接获得M-us中的元素）
现在的问题是：
　　找到us的一个子集cus，满足：（1）由cus中的元素通过以上的产生式集可推导出ud中的所有元素；（2）若有us的子集cus1也可以推导出ud，则cus1中元素的代价之和不小于cus中元素的代价和。也就是说寻找满足（1）的代价和最小的子集。
　　当然，如果由us都不能得到ud，返回不可满足信息即可。
　　另外，为了避开产生式推导相关内容，可以假定已经存在函数f(s,d)，若f(s,d)＝1，表示由s可以得到d，若f(s,d)＝0，表示由s不可以得到d，其中s,d均为M的子集。当然，若s1是s2的子集，而f(s1,d)=1（表示由s1可以得到d)，则f(s2,d)=1。

[iwantnon]

引用楼主 canoe982 的回复:

　　可以假定已经存在函数f(s,d)，可以判定由s是否可以得到d。当然，若s1是s2的子集，而f(s1,d)=1（表示由s1可以得到d)，则f(s2,d)=1。

我觉得，如果有了f这个函数的话，那么本题就是一个标准的最短路径问题。

[iwantnon]

其中函数f就是图的邻接矩阵。

[canoe982]

引用 10 楼 iwantnon 的回复:

其中函数f就是图的邻接矩阵。

这样考虑当然也可以，但复杂度同样很高。设M中有n个元素，将形成有2的n次方个节点的邻接矩阵，这与穷举法没有多少差别了。

不知道是否我的理解有误。

[canoe982]

引用 13 楼 iwantnon 的回复:

引用 11 楼 canoe982 的回复:这与穷举法没有多少差别了。
我认为这句话也有问题，因为产生式是有传递关系的，而函数f的作用就是封装了这种传递关系，所以在函数f未知的情况下，这题不可能存在穷举解法。

你对函数f的理解不恰当。对于M中的任何s，f(s,d)的值都是确定的、可知的。所以穷举解法是可以的，只是复杂度太高。

[iwantnon]

引用楼主 canoe982 的回复:

　　可以假定已经存在函数f(s,d)，可以判定由s是否可以得到d。当然，若s1是s2的子集，而f(s1,d)=1（表示由s1可以得到d)，则f(s2,d)=1。

是你自己说的函数f已知。

[iwantnon]

引用 11 楼 canoe982 的回复:

这与穷举法没有多少差别了。

我认为这句话也有问题，因为产生式是有传递关系的，而函数f的作用就是封装了这种传递关系，所以在函数f未知的情况下，这题不可能存在穷举解法。

[canoe982]

我已经找到了求f的算法，其时间复杂度为O(n^2),n为产生式的个数，单位操作为两个集合的包含判断与合并。这个算法只能判断由s是否可以得到d,而不能得到由s如何到d。

[iwantnon]

我的意思是说，计算量主要在"求f"上。只要有了f，然后就是个最短路径问题。
求f的复杂度大概避免不了是指数级的。
所以楼主应说清到底f是已知还是未知。

[n007dna1]

围观学习中。。。这是干嘛用的？？？

[绿色夹克衫]

估计求最优解够呛呀，可以试试先从s为1个元素的集合逐步进行松弛。然后再弄s为2个元素的......
以此类推。LZ给一个复杂一点的例子吧，越复杂越好，我试试。

[canoe982]

引用 18 楼 litaoye 的回复:

估计求最优解够呛呀，可以试试先从s为1个元素的集合逐步进行松弛。然后再弄s为2个元素的......
以此类推。LZ给一个复杂一点的例子吧，越复杂越好，我试试。

考虑过你这种想法，但分析之后没有找到非指数时间复杂度的最优算法。可以用这种思路得到一个较好的结果，但找不到度量这种结果好环程序的方法。
我的想法是：如果找不到最优，能够找到局部最优、可度量的近似最优也行。不过，到目前为止，还没有找到。

至于说要复杂的例子，可以用下面的算法，自动生成：
（1）随机产生一个集体M＝｛"A1","A2",..."An"}。
（2）随机生成一个产生式：取一名字，不妨设为P1；从M中随机取a~b个元素作为P1的前件；从M中剩下的元素中随机取s~t个元素作为P1的后件。
（3）重复第2步，总共产生m个产生式。
（4）随机生成待求解问题：从M中随机取出c~d个元素作为已经条件，并给每个元素附随机权值；从M中剩下的元素中随机取出p~q个元素作为目标条件。
我在实验的时候，其中的参数是这样取值的：
a=s=1, b=t=5, c = 3, d = 8, p = 1, q = 5;
n/m = 2;
n与m的值根据问题规范需要同步增长。

[wohenbuzhidao]

留个脚印。先想想～～～～～～～～～～～～～～～～再发言