出道数学题，求方程的整数解

[whg01]

求所有a和b的整数解，使得方程 1 + 2^a + 2^(2a+1) = b^2 成立。
先给出完整推论的给分。

[tongxing850412]

两边都乘以8，则有
8+2*(2^(a+2))+(2^(a+2))^2=8 * b^2

令 m = 2^(a+2) 则：
8+2*m+m^2 = 8 * b^2 即
(m+1)^2 = 8 * b^2 - 7
m+1 = sqrt(8*b^2-7) (b >= sqrt(7/8) 或者 b <= -sqrt(7/8))
(m是必大于零的，所以舍去 -sqrt(8*b^2-7))

m = -1 + sqrt(8*b^2-7) 即
2^(a+2) = -1 + sqrt(8*b^2-7)
a+2 = log2(-1 + sqrt(8*b^2-7))
a = log2(-1 + sqrt(8*b^2-7)) - 2

与8楼结果相同。

[品茶]

wait

[dy22199]

令x = 2^a
原式 ＝>1+x+2x^2 = b^2
移项 ＝> x(x+2) = (b -1)(b+1)
易得 ＝> b = x + 1
原式等价于求解 b = 2^a + 1
往下就不用说了吧

[dy22199]

不对，错了，是x(2x+1)=(b-1)(b+1)
这样只能得到明显解a=0,b=2

[whg01]

[Quote=引用 25 楼 dy22199 的回复:]
令x = 2^a
原式 ＝>1+x+2x^2 = b^2
移项 ＝> x(x+2) = (b -1)(b+1)
易得 ＝> b = x + 1
原式等价于求解 b = 2^a + 1
往下就不用说了吧
[/Quote]
原式 ＝>1+x+2x^2 = b^2
移项后得到的应该是x(2x+1) = (b -1)(b+1)，而不是x(x+2) = (b -1)(b+1)。:)

[whg01]

[Quote=引用 26 楼 dy22199 的回复:]
不对，错了，是x(2x+1)=(b-1)(b+1)
这样只能得到明显解a=0,b=2
[/Quote]
网页开了一会儿没刷新，没看到你的回复。sorry。

[whg01]

把我的解法放到这里了：http://blog.csdn.net/whg01/archive/2010/05/14/5589150.aspx
论坛的回复没法贴格式文本。

[azure110]

关注.不错

[向立天]

[Quote=引用 29 楼 whg01 的回复:]
把我的解法放到这里了：http://blog.csdn.net/whg01/archive/2010/05/14/5589150.aspx
论坛的回复没法贴格式文本。
[/Quote]
挺有意思

[肥嘟嘟肉呼呼]

29楼 如果a=-1 那么左边是整数啊 你怎么保证以后a<0 左边结果不是整数

[whg01]

[Quote=引用 32 楼 zhengzhihua1985 的回复:]
29楼 如果a=-1 那么左边是整数啊 你怎么保证以后a<0 左边结果不是整数
[/Quote]
1 + 2^a + 2^(2a+1) = b^2
a=-1,左边等于2，b无整数解。
a<-1,左边的结果必然不是整数。
原文中有个笔误，现已改正。谢谢。“如果 a<0, 等式左边”应该是“如果 a<-1, 等式左边”

[肥嘟嘟肉呼呼]

我的神啊....想半天没想出结果让我带你们进入误区八 哈哈且看我思路
1+2^a+2*(2^a)^2=b^2 令x=2^a
1+2^a+2*(2^a)^2=b^2
7/4(2^a)^2+(1/4(2^a)^2+(2^a)+1)=b^2
7(2^(a-1))^2+(1/2*(2^a)+1)^2=b^2
7(2^(a-1))^2+(2^(a-1)+1)^2=b^2令x=2^(a-1)
(开根号7x)^2+(x+1)^2=b^2//........说明是个直角三角形 然后这就是我的误区啦 出不来了T T

[肥嘟嘟肉呼呼]

第一个令x=2^a我写错的 删了这一句

[肥嘟嘟肉呼呼]

第一步：
求所有a和b的整数解，使得方程 1 + 2^a + 2^(2a+1) = b^2 成立。
2^a和2^(2a+1)也要为整数那么b有可能成为整数 如果a>=0那么左边就为整数 如果a<0那么如果底数相同指数不同左边就不为整数,如果指数相同还是有可能为整数我们排除这一项a=2a+1解出a=-1除此以后左边a<0时底数相同指数永远不同 左边不为整数 因为a=-1那么b是无解的（自己试试b为整数无解）
因此结论a>-1;
第二步：
变形
7/4(2^a)^2+(1/4(2^a)^2+(2^a)+1)=b^2
7(2^(a-1))^2+(1/2*(2^a)+1)^2=b^2
7(2^(a-1))^2+(2^(a-1)+1)^2=b^2令x=2^(a-1)
7*x^2+(x+1)^2=b^2
讨论b为偶数的时候 那么左边x有可能为奇，偶，分数 三种情况吧
因为7*x^2与(x+1)^2整数的话永远只能为一奇一偶因此b为偶数的时候x不为奇数也不为偶数只能等于分数，x等于分数的情况只有一种a=0的时候x=1/2得出b=+-2；（因为a>-1的整数a>0后都为整数）接下来讨论b为奇数了 我吃饭去..........

[品茶]

如果a、b存在整数解, 则必定存在整数 i/j/m，使得下面3个等式成立。

i*j=(1+ 2a+1) ; ---[1] 根据该式，i、j必定为奇数.

i*2^m = b-1; ---[2]

j*2^(a-m) =b+1; ---[3]

合并[2]、[3]式可以得到：

i*2^m = j*2^(a-m) + 2;


一个小错误：i*2^m = j*2^(a-m) - 2;
因为i,j的对称性，可以互换，所以不影响证明的正确性。

一个大错误：没有考虑(1+ 2a+1)有3个以上约数的情况
即
i*j=(1+ 2a+1)/n ; ---[1] 根据该式，i、j必定为奇数.

i*2^a = b-1或(b-1)/n; ---[2]

j*2^(a-m) =(b+1)/n或b+1; ---[3]

很显然，b=23时，b^2-1=22*24=11*48=33*16=......
所以n可以为3，不能被2整除。

[品茶]

继续期待高手解答正数情况是否是有限解。

[whg01]

一个小错误：i*2^m = j*2^(a-m) - 2; 又一个笔误，多谢指出。
没有考虑(1+ 2a+1)有3个以上约数的情况：如果有3个以上的约数，一样是可以拆解成上面的样子。

[品茶]

你只考虑了i j 都是奇数的情况

因为你的[1]式左右都是奇数，只有奇数相乘才是奇数

可是你没考虑到ij可能是偶数的情况
就是i*j=(1+2^(a+1))/n这种情况
我已经证明了，n是可以等于3的
而奇数相除是可以到到偶数的
也就是说ij中可以有偶数

你没有考虑这种情况。

[品茶]

你是对的

奇数相除只能是奇数
我恍惚了

[whg01]

多谢参与。