关于树的直径的算法证明

[augustinlouis]

对一个无环且连通的无向图（无根树），已知任意2个节点之间都有唯一一条简单路径，树的直径被定义为此图中的最长的路径

给定一个无根树，要求其直径

此问题的一个O(n)算法如下：
任取一点u，遍历得到到它的最远点v，再对v寻找一个到它的最远点w，则路径v-w一定是一条直径

求证明。。。

[超级大笨狼]

这个脑袋能想明白，证明用数学归纳法吧。
这个不光和深度有关，和广度也有关系，距离=广度+深度

[augustinlouis]

[Quote=引用 1 楼 superdullwolf 的回复:]
这个脑袋能想明白，证明用数学归纳法吧。
这个不光和深度有关，和广度也有关系，距离=广度+深度
[/Quote]
我想你没明白我的意思，此图中每条边有一正权，距离为路径上所有边的权之和，你怎么说到什么广度+深度了？orz，此外，证明与数归没有关系。。

[knate]

反证就可以了
假设最长的是L,存在另一条不相交的路径M更长.
LM比如存在一路径使两者相连.通过这个辅助路径反证应该很容易的.

(如果存在更长的而且LM有交点的假设反证更容易)

[michael122]

基本思路就是：

假设按照算法找出来的路径为P1，算法第一步中u点到P1的第一个端点的路径为P11，长度分别为L1，L11
用反证法，假设还有一条路径P2，长度为L2>L1，u点到P2的两端点的路径分别为P21，P22，长度为L21，L22
则，我们根据算法知道，L11>=L1/2
且 L21,L22两者必有一个大于等于L2/2，也就是说大于L1/2 （假设为P21）
那么，把路径P11和P21通过u连起来，就得到比L1更长的路径了。这与算法的第二步是矛盾的，因为算法说L1是通过P11的端点的最长路径


大概是这样，lz自己再整理一下