快速排序

[sunner008]

T(0)=0,T(n)=(n-1)+T(⌊(n+1)/2⌋)+T(⌈(n-1)/2⌉),n>=1
这个快速排序的渐进式怎么导出O(nlogn)呢？

[michael122]

算法导论中主定理的应用，证明如下：
可以写成 T(n)<=2*T(n/2)+c*n c是一个常数
则 T(n)<=2*T(n/2)+cn
<=2*(2T(n/4)+c*n/2)+cn
=4T(n/4)+2cn
<=8T(n/8)+3cn
....
<=2^k * T(n/(2^k))+k*cn
这样一直到k=logn时，上式=n*T(1)+c*nlogn=O(nlogn)

当然，如果知道结果的话也可以用数学归纳法证明，一样很简单

[sunner008]

[Quote=引用 1 楼 michael122 的回复:]
算法导论中主定理的应用，证明如下：
可以写成 T(n)<=2*T(n/2)+c*n c是一个常数
则 T(n)<=2*T(n/2)+cn
<=2*(2T(n/4)+c*n/2)+cn
=4T(n/4)+2cn
<=8T(n/8)+3cn
....
<=2^k * T(n/(2^k))+k*cn
这样一直到k=logn时，上式=n*T(1)+c*nlogn=O(n……
[/Quote]
但是这个是n的情况能证明出来，我那个是n-1的情况按这种方法我证明出来的是nlog(n+1)这肯定是不对，不知请求高手可否在n-1的情况下帮我证明呢？

[michael122]

没有区别啊
渐进意义上都是一样的
nlog(n+1)=O(nlogn)

[sunner008]

[Quote=引用 3 楼 michael122 的回复:]
没有区别啊
渐进意义上都是一样的
nlog(n+1)=O(nlogn)
[/Quote]
哦，原来如此太谢谢您了，又向您学习到了。