无穷小量到底等不等于零啊？

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

刚才闲逛，又看到有人争论0.9的循环等不等于0的问题（这是个老把戏了，每隔一段时间就有一批这样的帖子从各个论坛冒出来，国内国外的论坛都有，和那个羊车门问题差不多）。

我不是要谈这个问题（在我们熟悉的实数系统中，还只能这样定义，虽然形式上有点令人不快），而是想到了一个相关的问题：无穷小量到底等不等于零啊？
我的印象是将无穷小量等同于0是牛顿发明微积分时的一个考虑不周的用法，同样发明微积分的莱布尼茨就不使用这种定义。另外，在我学过的高数中也没有这样定义的（如果我没记错的话），因为高数中有一个定理“有限个无穷小量的和仍然是无穷小量”，如果无穷小量等于0，那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”，但这是不成立的，比如1/n是n趋于无穷大时的无穷小量，但是n个1/n的和是1，不是无穷小量。可是我记得欧拉又说过“无穷小量只能是0，它不可能是别的数”，难道欧拉这样的牛人也会理解错吗？（我怎么又觉得欧拉说的也有道理？）

一瞬间，我的脑子乱了，好象（搞不好是真的）我学过的知识全忘了，我什么都不会了，真恐怖啊。不知各位是否也曾有过这样的感受？:)

[dqdx_zch]

数学中有n位不足近似和n位过剩近似

[yukiooy]

[Quote=引用 57 楼 delphiguy 的回复:]

引用 55 楼 yukiooy 的回复:

你看的欧拉的文章，在他的那个时代，微积分系统还没有完善，所以对于微积分的基本问题一直存在着争议。关于无穷小量的问题，确切含义是在引入极限的概念之后变得明确的。所以，还是要多多关注一些近世的研究成果。


你这么说意味着你并没有理解这个问题的复杂性。见39楼。
[/Quote]
你连最基本的概念都没有弄清楚就下结论，建议你重修《数学分析》。还有，建议你读几本书：
柯西的《分析教程》和《无穷小计算讲义》；
还有Weirstrass有关实数论的一些书。
不要再发些前任已经解决的，现在类似于“鞭尸”的讨论。

[yukiooy]

你说的“无穷小量到底等不等于零啊？”，前人早就已经解决了，这个问题是第二次数学危机的核心议题。要不然，现在微积分体系仍然不牢固，第二次数学危机仍然未解决。建议多多读一些前人发的文章，写的书，从Newton的文章一直读到Cantor的文章，了解整个数学分析的发展史，你也不会这么没头没脑的发问了。

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

[Quote=引用 61 楼 yukiooy 的回复:]

你说的“无穷小量到底等不等于零啊？”，前人早就已经解决了，这个问题是第二次数学危机的核心议题。要不然，现在微积分体系仍然不牢固，第二次数学危机仍然未解决。建议多多读一些前人发的文章，写的书，从Newton的文章一直读到Cantor的文章，了解整个数学分析的发展史，你也不会这么没头没脑的发问了。
[/Quote]

您又在想当然了。谁告诉您的“第二次数学危机已经解决”了？您没注意到即便某些垃圾科普文章，也只敢声称“基本解决”，而不是“解决”了吗。

原话奉还：“建议多多读一些前人发的文章，写的书，从Newton的文章一直读到Cantor的文章，了解整个数学分析的发展史，你也不会这么没头没脑的发问了。”比如思考一下，把无穷小量定义为一个变量，解决了什么问题，又带来什么问题？比您卖弄教科书、甚至网上搜来的“知识”要有意义得多。:)

[硬面饽饽]

看你对极限就是没理解好
有限个无穷小量还是无穷小量”
你那n个1/n，n是有限量，那1/n就不是无穷小量
n是无限量，那n个就不是有限个啊

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

又来了一个无脑的... 建议先把别人的话上下文看明白再说好不好。

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

fuchuangbob，解释见59楼，言词不周，见谅。

[likee003]

1/3=0.33333333333333......
1/3*3 = 1；
0.33333333333333......*3 = 0.99999999999999999999......
所以，0.99999999999999999999......是等于1的。

[BlackPointofSun]

我感觉你似乎把“无穷小量”和“无穷小量的极限”两个概念混为一谈了

[Quote=引用 31 楼 delphiguy 的回复:]

我说的是“如果无穷小量等于0，那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”，
[/Quote]

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

我不知道你想证明什么。你在29楼明显是没有理解我反证逻辑上无穷小量不能等于0的意思，你只看到了后一半，没看到前面 '如果无穷小量等于0，那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”'。

[mozuyuan]

[Quote=引用 7 楼 michael122 的回复:]
数学上这种无穷的量应该理解为一种“趋势”，不是一个单纯的数
无穷小量更不是一个数，所以不能和0比较，它代表一种趋势，即趋向于0
这是近代连续统数学的根基
[/Quote]
嘿嘿，赞同

[xmx2009]

无穷小量在加减运算中 当做0
在乘除中还有看无穷小的阶数，比值有可能是无穷大

[Teng_s2000]

求极限可以这么说，哈哈
要不1就是1，0就是0

[allen12345]

接近于0，你觉得等不等于0呢

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

结帖了，谢谢大家的帮助。:)

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

没有平均给分功能了，结帖也够痛苦的。

[yzm365487848]

。。。。 看什么情况下啊， 你拿无限个无穷小量之和来说 ，肯定不能说等于0啊， 但是按一般情况来说 就可以近乎于0来算啊， 规律是活的

[用户 昵称]

73楼说的对。

[Crazy_hand]

若对于每一正数 epsilon ， 不论它怎样小，恒有序号 N, 使在 n > N 时，一切 Xn 的值满足不等式
|Xn - a| < epsilon
则常数 a 称为整序变量 x = Xn的极限

北大数院的数学分析 还有一段对 epsilon 的解释。
epsilon具有任务性，它表示精确度，是衡量接近程序的量。|Xn - a| < eplison， 表示能接近到任意程度，因此具有任意性；另一方面， epsilon一旦确定，它具胡暂时的固定性，要根据它来找N， N依赖于 eplison,但并不由 eplison惟一确定。其实我们只关心 N 的存在性，而不关心它个体多大。

-----
若整序变量Xn 的绝对值，自某项起，成为而且永远保持小于预先指定的任意小数 epsilon > 0,则它称为无穷小。

无穷小是一个变量。

菲赫金哥尔茨 的 微积分学教程 里面的定义。
-----

关于：
1. 因为高数中有一个定理“有限个无穷小量的和仍然是无穷小量
设 X1，X2 为无穷小量， X1 > X2
X1+X2 > X1 > X2 但它仍然是无穷小量
当无穷小量为 无穷个时， 它总有 X1+X2+.....Xn = 1 的时候。。。

2. 可是我记得欧拉又说过“无穷小量只能是0，它不可能是别的数”
我觉得它应该是从极限的角度说的。因为无穷小的极限 只能 是 0.


------------------------------
无穷小 是 对 0 的无限逼近，但它永远比 0 大。 当它足够小的时候，我们可以忽略它。


这是我对我所学过的内容的理解。。。

[dengzikun]

细究起来，无穷小确实是一个容易引起麻烦的概念。
在有些分析教材中，并不使用这个概念。在 陶哲轩实分析
中，好像就没有用这个概念。