无穷小量到底等不等于零啊?

早打大打打核战争 2010-07-16 05:02:32
刚才闲逛,又看到有人争论0.9的循环等不等于0的问题(这是个老把戏了,每隔一段时间就有一批这样的帖子从各个论坛冒出来,国内国外的论坛都有,和那个羊车门问题差不多)。

我不是要谈这个问题(在我们熟悉的实数系统中,还只能这样定义,虽然形式上有点令人不快),而是想到了一个相关的问题:无穷小量到底等不等于零啊?
我的印象是将无穷小量等同于0是牛顿发明微积分时的一个考虑不周的用法,同样发明微积分的莱布尼茨就不使用这种定义。另外,在我学过的高数中也没有这样定义的(如果我没记错的话),因为高数中有一个定理“有限个无穷小量的和仍然是无穷小量”,如果无穷小量等于0,那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”,但这是不成立的,比如1/n是n趋于无穷大时的无穷小量,但是n个1/n的和是1,不是无穷小量。可是我记得欧拉又说过“无穷小量只能是0,它不可能是别的数”,难道欧拉这样的牛人也会理解错吗?(我怎么又觉得欧拉说的也有道理?)

一瞬间,我的脑子乱了,好象(搞不好是真的)我学过的知识全忘了,我什么都不会了,真恐怖啊。不知各位是否也曾有过这样的感受?:)

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dengzikun 2011-01-25
细究起来,无穷小确实是一个容易引起麻烦的概念。
在有些分析教材中,并不使用这个概念。在 陶哲轩实分析
中,好像就没有用这个概念。
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Crazy_hand 2010-12-04
若对于每一正数 epsilon , 不论它怎样小,恒有序号 N, 使在 n > N 时,一切 Xn 的值满足不等式
|Xn - a| < epsilon
则常数 a 称为整序变量 x = Xn的极限

北大数院的数学分析 还有一段对 epsilon 的解释。
epsilon具有任务性,它表示精确度,是衡量接近程序的量。|Xn - a| < eplison, 表示能接近到任意程度,因此具有任意性;另一方面, epsilon一旦确定,它具胡暂时的固定性,要根据它来找N, N依赖于 eplison,但并不由 eplison惟一确定。其实我们只关心 N 的存在性,而不关心它个体多大。

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若整序变量Xn 的绝对值,自某项起,成为而且永远保持小于预先指定的任意小数 epsilon > 0,则它称为无穷小。

无穷小是一个变量。

菲赫金哥尔茨 的 微积分学教程 里面的定义。
-----

关于:
1. 因为高数中有一个定理“有限个无穷小量的和仍然是无穷小量
设 X1,X2 为无穷小量, X1 > X2
X1+X2 > X1 > X2 但它仍然是无穷小量
当无穷小量为 无穷个时, 它总有 X1+X2+.....Xn = 1 的时候。。。

2. 可是我记得欧拉又说过“无穷小量只能是0,它不可能是别的数”
我觉得它应该是从极限的角度说的。因为无穷小的极限 只能 是 0.


------------------------------
无穷小 是 对 0 的无限逼近,但它永远比 0 大。 当它足够小的时候,我们可以忽略它。


这是我对我所学过的内容的理解。。。

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73楼说的对。
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yzm365487848 2010-08-27
。。。。 看什么情况下啊, 你拿无限个无穷小量之和来说 ,肯定不能说等于0啊, 但是按一般情况来说 就可以近乎于0来算啊, 规律是活的
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没有平均给分功能了,结帖也够痛苦的。
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结帖了,谢谢大家的帮助。:)
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allen12345 2010-08-02
接近于0,你觉得等不等于0呢
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Teng_s2000 2010-08-02
求极限可以这么说,哈哈
要不1就是1,0就是0
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xmx2009 2010-08-02
无穷小量在加减运算中 当做0
在乘除中还有看无穷小的阶数,比值有可能是无穷大
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mozuyuan 2010-08-02
[Quote=引用 7 楼 michael122 的回复:]
数学上这种无穷的量应该理解为一种“趋势”,不是一个单纯的数
无穷小量更不是一个数,所以不能和0比较,它代表一种趋势,即趋向于0
这是近代连续统数学的根基
[/Quote]
嘿嘿,赞同
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我不知道你想证明什么。你在29楼明显是没有理解我反证逻辑上无穷小量不能等于0的意思,你只看到了后一半,没看到前面 '如果无穷小量等于0,那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”'。

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BlackPointofSun 2010-08-01
我感觉你似乎把“无穷小量”和“无穷小量的极限”两个概念混为一谈了

[Quote=引用 31 楼 delphiguy 的回复:]

我说的是“如果无穷小量等于0,那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”,
[/Quote]
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likee003 2010-08-01
1/3=0.33333333333333......
1/3*3 = 1;
0.33333333333333......*3 = 0.99999999999999999999......
所以,0.99999999999999999999......是等于1的。
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fuchuangbob,解释见59楼,言词不周,见谅。
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又来了一个无脑的... 建议先把别人的话上下文看明白再说好不好。

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硬面饽饽 2010-08-01
看你对极限就是没理解好
有限个无穷小量还是无穷小量”
你那n个1/n,n是有限量,那1/n就不是无穷小量
n是无限量,那n个就不是有限个啊
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[Quote=引用 61 楼 yukiooy 的回复:]

你说的“无穷小量到底等不等于零啊?”,前人早就已经解决了,这个问题是第二次数学危机的核心议题。要不然,现在微积分体系仍然不牢固,第二次数学危机仍然未解决。建议多多读一些前人发的文章,写的书,从Newton的文章一直读到Cantor的文章,了解整个数学分析的发展史,你也不会这么没头没脑的发问了。
[/Quote]

您又在想当然了。谁告诉您的“第二次数学危机已经解决”了?您没注意到即便某些垃圾科普文章,也只敢声称“基本解决”,而不是“解决”了吗。

原话奉还:“建议多多读一些前人发的文章,写的书,从Newton的文章一直读到Cantor的文章,了解整个数学分析的发展史,你也不会这么没头没脑的发问了。”比如思考一下,把无穷小量定义为一个变量,解决了什么问题,又带来什么问题?比您卖弄教科书、甚至网上搜来的“知识”要有意义得多。:)

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yukiooy 2010-08-01
你说的“无穷小量到底等不等于零啊?”,前人早就已经解决了,这个问题是第二次数学危机的核心议题。要不然,现在微积分体系仍然不牢固,第二次数学危机仍然未解决。建议多多读一些前人发的文章,写的书,从Newton的文章一直读到Cantor的文章,了解整个数学分析的发展史,你也不会这么没头没脑的发问了。
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yukiooy 2010-08-01
[Quote=引用 57 楼 delphiguy 的回复:]

引用 55 楼 yukiooy 的回复:

你看的欧拉的文章,在他的那个时代,微积分系统还没有完善,所以对于微积分的基本问题一直存在着争议。关于无穷小量的问题,确切含义是在引入极限的概念之后变得明确的。所以,还是要多多关注一些近世的研究成果。


你这么说意味着你并没有理解这个问题的复杂性。见39楼。
[/Quote]
你连最基本的概念都没有弄清楚就下结论,建议你重修《数学分析》。还有,建议你读几本书:
柯西的《分析教程》和《无穷小计算讲义》;
还有Weirstrass有关实数论的一些书。
不要再发些前任已经解决的,现在类似于“鞭尸”的讨论。
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dqdx_zch 2010-07-31
数学中有n位不足近似和n位过剩近似
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