无穷小量到底等不等于零啊?

刚才闲逛,又看到有人争论0.9的循环等不等于0的问题(这是个老把戏了,每隔一段时间就有一批这样的帖子从各个论坛冒出来,国内国外的论坛都有,和那个羊车门问题差不多)。

我不是要谈这个问题(在我们熟悉的实数系统中,还只能这样定义,虽然形式上有点令人不快),而是想到了一个相关的问题:无穷小量到底等不等于零啊?
我的印象是将无穷小量等同于0是牛顿发明微积分时的一个考虑不周的用法,同样发明微积分的莱布尼茨就不使用这种定义。另外,在我学过的高数中也没有这样定义的(如果我没记错的话),因为高数中有一个定理“有限个无穷小量的和仍然是无穷小量”,如果无穷小量等于0,那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”,但这是不成立的,比如1/n是n趋于无穷大时的无穷小量,但是n个1/n的和是1,不是无穷小量。可是我记得欧拉又说过“无穷小量只能是0,它不可能是别的数”,难道欧拉这样的牛人也会理解错吗?(我怎么又觉得欧拉说的也有道理?)

一瞬间,我的脑子乱了,好象(搞不好是真的)我学过的知识全忘了,我什么都不会了,真恐怖啊。不知各位是否也曾有过这样的感受?:)

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dengzikun 2011-01-25
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细究起来,无穷小确实是一个容易引起麻烦的概念。
在有些分析教材中,并不使用这个概念。在 陶哲轩实分析
中,好像就没有用这个概念。
Crazy_hand 2010-12-04
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若对于每一正数 epsilon , 不论它怎样小,恒有序号 N, 使在 n > N 时,一切 Xn 的值满足不等式
|Xn - a| < epsilon
则常数 a 称为整序变量 x = Xn的极限

北大数院的数学分析 还有一段对 epsilon 的解释。
epsilon具有任务性,它表示精确度,是衡量接近程序的量。|Xn - a| < eplison, 表示能接近到任意程度,因此具有任意性;另一方面, epsilon一旦确定,它具胡暂时的固定性,要根据它来找N, N依赖于 eplison,但并不由 eplison惟一确定。其实我们只关心 N 的存在性,而不关心它个体多大。

-----
若整序变量Xn 的绝对值,自某项起,成为而且永远保持小于预先指定的任意小数 epsilon > 0,则它称为无穷小。

无穷小是一个变量。

菲赫金哥尔茨 的 微积分学教程 里面的定义。
-----

关于:
1. 因为高数中有一个定理“有限个无穷小量的和仍然是无穷小量
设 X1,X2 为无穷小量, X1 > X2
X1+X2 > X1 > X2 但它仍然是无穷小量
当无穷小量为 无穷个时, 它总有 X1+X2+.....Xn = 1 的时候。。。

2. 可是我记得欧拉又说过“无穷小量只能是0,它不可能是别的数”
我觉得它应该是从极限的角度说的。因为无穷小的极限 只能 是 0.


------------------------------
无穷小 是 对 0 的无限逼近,但它永远比 0 大。 当它足够小的时候,我们可以忽略它。


这是我对我所学过的内容的理解。。。

用户 昵称 2010-10-13
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73楼说的对。
yzm365487848 2010-08-27
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。。。。 看什么情况下啊, 你拿无限个无穷小量之和来说 ,肯定不能说等于0啊, 但是按一般情况来说 就可以近乎于0来算啊, 规律是活的
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没有平均给分功能了,结帖也够痛苦的。
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结帖了,谢谢大家的帮助。:)
allen12345 2010-08-02
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接近于0,你觉得等不等于0呢
Teng_s2000 2010-08-02
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求极限可以这么说,哈哈
要不1就是1,0就是0
xmx2009 2010-08-02
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无穷小量在加减运算中 当做0
在乘除中还有看无穷小的阶数,比值有可能是无穷大
mozuyuan 2010-08-02
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[Quote=引用 7 楼 michael122 的回复:]
数学上这种无穷的量应该理解为一种“趋势”,不是一个单纯的数
无穷小量更不是一个数,所以不能和0比较,它代表一种趋势,即趋向于0
这是近代连续统数学的根基
[/Quote]
嘿嘿,赞同
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我不知道你想证明什么。你在29楼明显是没有理解我反证逻辑上无穷小量不能等于0的意思,你只看到了后一半,没看到前面 '如果无穷小量等于0,那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”'。

BlackPointofSun 2010-08-01
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我感觉你似乎把“无穷小量”和“无穷小量的极限”两个概念混为一谈了

[Quote=引用 31 楼 delphiguy 的回复:]

我说的是“如果无穷小量等于0,那应该有“无限个无穷小量的和仍然是无穷小量”,
[/Quote]
likee003 2010-08-01
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1/3=0.33333333333333......
1/3*3 = 1;
0.33333333333333......*3 = 0.99999999999999999999......
所以,0.99999999999999999999......是等于1的。
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fuchuangbob,解释见59楼,言词不周,见谅。
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又来了一个无脑的... 建议先把别人的话上下文看明白再说好不好。

硬面饽饽 2010-08-01
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看你对极限就是没理解好
有限个无穷小量还是无穷小量”
你那n个1/n,n是有限量,那1/n就不是无穷小量
n是无限量,那n个就不是有限个啊
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[Quote=引用 61 楼 yukiooy 的回复:]

你说的“无穷小量到底等不等于零啊?”,前人早就已经解决了,这个问题是第二次数学危机的核心议题。要不然,现在微积分体系仍然不牢固,第二次数学危机仍然未解决。建议多多读一些前人发的文章,写的书,从Newton的文章一直读到Cantor的文章,了解整个数学分析的发展史,你也不会这么没头没脑的发问了。
[/Quote]

您又在想当然了。谁告诉您的“第二次数学危机已经解决”了?您没注意到即便某些垃圾科普文章,也只敢声称“基本解决”,而不是“解决”了吗。

原话奉还:“建议多多读一些前人发的文章,写的书,从Newton的文章一直读到Cantor的文章,了解整个数学分析的发展史,你也不会这么没头没脑的发问了。”比如思考一下,把无穷小量定义为一个变量,解决了什么问题,又带来什么问题?比您卖弄教科书、甚至网上搜来的“知识”要有意义得多。:)

yukiooy 2010-08-01
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你说的“无穷小量到底等不等于零啊?”,前人早就已经解决了,这个问题是第二次数学危机的核心议题。要不然,现在微积分体系仍然不牢固,第二次数学危机仍然未解决。建议多多读一些前人发的文章,写的书,从Newton的文章一直读到Cantor的文章,了解整个数学分析的发展史,你也不会这么没头没脑的发问了。
yukiooy 2010-08-01
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[Quote=引用 57 楼 delphiguy 的回复:]

引用 55 楼 yukiooy 的回复:

你看的欧拉的文章,在他的那个时代,微积分系统还没有完善,所以对于微积分的基本问题一直存在着争议。关于无穷小量的问题,确切含义是在引入极限的概念之后变得明确的。所以,还是要多多关注一些近世的研究成果。


你这么说意味着你并没有理解这个问题的复杂性。见39楼。
[/Quote]
你连最基本的概念都没有弄清楚就下结论,建议你重修《数学分析》。还有,建议你读几本书:
柯西的《分析教程》和《无穷小计算讲义》;
还有Weirstrass有关实数论的一些书。
不要再发些前任已经解决的,现在类似于“鞭尸”的讨论。
dqdx_zch 2010-07-31
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数学中有n位不足近似和n位过剩近似
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微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小,理论基础是不牢固的。直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化。 微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变无穷小元素的静止集合。他把连续变叫做流动,把这些流动的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理,以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。 其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处,也都各有短处。那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小这个问题上,其说不一,十分含糊。牛顿的无穷小,有时候是,有时候不是而是有限的小;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常数学,微积分才是真正的变数学,是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。 微积分的基本内容 研究函数,从的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。 微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
实验报告六 数据包络软件(DEA)上机实验 一、实验目的 1. 了解DEA软件功能; 2. 初步掌握DEA软件使用。 二、实验方法 1.数据包络分析(DEA) 数据包络分析(Date Envelopment Analysis,简记为DEA)是由运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper等于1978年提出,以输 出/输入作为相对绩效而发展起来的评价决策单元(Decision Making Units,简称DMU)相对有效性的非参数方法。 具有单输入单输出的过程或决策单元其效率可简单的定义为:输出 输入,A.Charnes 等人将这种思想推广到具有多输入多输出生产有效性分析上. 对具有多输入多输出的生产过程或决策单元, 其效率可类似定义为: 输出项加权和 输入项加权和, 形成了仅仅依靠分析生产决策单元(DMU )的投入与产出数据, 来评价多输入与多输出决策单元之间相对有效性的评价体系。这种评价体系以数学规划 为工具, 利用观测样本点构成的 "悬浮" 在整个样本上的分段超平面, 来评价决策单元的相对有效性。 2. DEA模型 DEA方法中运用较多的是模型。设存在有n个决策单元,i=1,2, …… ,n,每个决策单元都有m种输入和p种输出,其中第i个决策单元的输入表示为 ,输出表示为,权重表示为,。并且,其中。 为第j个决策单元的效率评价指数。 对进行效率评价,总可以选择权系数u,v,在各个的效率评价指数不超过 1的条件下使最大,于是有如下优化模型(即模型) 模型的线性规划形式是基于凸性、锥性、无效性、最小性等生产公理体系假设 得到的,通过Charess- Cooper变换,模型的分式规划形式可以等价的转换为线性规划形式,为便于计算, 常采用线性规划形式。基于输入的模型的线性规划形式为: 其中。 其对偶规划模型为: 引入新的松弛变可将上式表示为如下形式: 带有非阿基米德无穷小以及松弛变的线性规划[4]模型为: 其中为非阿基米德无穷小,是一个大于而小于任何正数的数;;分 别为输入输出松弛向。 设为非阿基米德无穷小,对偶规划的最优解为,则有: (1)若,则不为DEA有效,其经济含义就是经济结构不合理,需要调整; (2)若,则仅为弱DEA有效,其经济含义就是在n个决策单元组成的经济系 统中对于投入可以减少而保持原产出不变,或在投入不变的情况下可将 产出提高; (3)若,则为DEA有效,其经济含义就是在n个决策单元组成的经济系统中 ,在原投入的基础上获得的产出已达到最优。 三、决策单元及评价指标的选取 根据DEA的研究方法,本文以陕西省某地区十一家农信社作为决策单元,结合合作金 融的特征和我国农信社的实际情况及数据的可获得性,我们选取以下的投入产出指标: 将劳动力()、可贷资金()、营业费用()作为投入指标,税前利润( )、不良贷款的降低()作为产出指标。投入产出数据见表1。 表1:投入产出数据表 "决策 "投入 "产出 " "单元 " " " " "劳动力[pic"可贷资金[pic"营业费用[pic"税前利润[pic"不良贷款的 " " "](人) "] "](万元) "] "降低 " " " "(万元) " "(万元) "(万元) " "1 "31 "24574 "96 "648 "136 " "2 "60 "47169 "122 "924 "125 " "3 "36 "25623 "66 "828 "42 " "4 "32 "15901 "60 "627 "35 " "5 "42 "41409 "63 "515 "132 " "6 "42 "30486 "93 "1092 "213 " "7 "39 "31673 "128 "587 "276 " "8 "33 "10227 "54 "735 "62 " "9 "30 "30662 "63 "796 "78 " "10 "31 "19118 "36 "702 "105 " "11 "39 "47764 "68 "903 "213 " 四、DEA评价结果分析 利用DEA的模型,借助Deap2.1软件计算,求得各家农信社的效率评价结果,见 下表: "农信社 "DEA "投入冗余 "产出不足 " " "效率值 " " " " "( " " " " ") " " " " " " " " " " "1 "0.835 "0.000 "1531.376 "20.380 "0.000 "0 " "2 "0.600 "0.000 "0.000 "0.000 "0.000 "26.085 " "3 "0.925 "0.000 "0.000 "0.000 "0.000 "100.335 " "4 "0.820 "0.000 "0.000 "0.000 "0.000 "51.448 " "5

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