关于数学：有理数多还是无理数多？

2010-07-28 02:17:36 673 阅读 AI 写同款 · GEO 优化AI 选题数据监测一键分发 ›

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数学 {小数,有理数,无理数,实数} 1 阅读详情

关于狄利克雷函数图像的一些思考~~如果能给出答案，能否给出证明？

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野鬼灬 2010-08-01

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[Quote=引用 11 楼 lazy_2010 的回复:]
有理数是可列的，无理数是不可列的，所以说无理数多。

或者说，如果我们试图建立有理数集合与无理数集合的一一映射关系，总会有无理数找不到对应的有理数。在这个意义上，无理数多。
[/Quote]
是这样啊~~~觉得2个都无限多，还分大小额……

xixiaoliu 2010-07-29

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[Quote=引用 27 楼 iambic 的回复:]
有高中数学基础就能明白的，还有必要把实变函数学十遍？
[/Quote]

你高中基础如果以为自己明白了，那你是根本不能白

“实变函数学十遍”只是一个俚语，不是说要真学十遍，就像“随机过程随机过”，“量子力学量力学”，“汇编语言不会编”等等，不得不说你out了

iambic 2010-07-28

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[Quote=引用 24 楼 lightboat09 的回复:]

引用 23 楼 iambic 的回复:

引用 21 楼 iamxmz 的回复:

lz等你实变函数学十遍的时候就知道了.....

别危言耸听了，这么简单的东西，和实变函数有什么关系。

其实是有关系的，
一般《实变函数》的教材一开始都会说到集合的势的问题，
这些勒贝格积分的理论基础
[/Quote]
有高中数学基础就能明白的，还有必要把实变函数学十遍？

pfcz_myp 2010-07-28

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[Quote=引用 11 楼 lazy_2010 的回复:]
有理数是可列的，无理数是不可列的，所以说无理数多。

或者说，如果我们试图建立有理数集合与无理数集合的一一映射关系，总会有无理数找不到对应的有理数。在这个意义上，无理数多。
[/Quote]

弱弱的up下...
要比较无穷集合，就要用到阿列夫之类的东东哦~

xixiaoliu 2010-07-28

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[Quote=引用 23 楼 iambic 的回复:]
引用 21 楼 iamxmz 的回复:

lz等你实变函数学十遍的时候就知道了.....

别危言耸听了，这么简单的东西，和实变函数有什么关系。
[/Quote]

Re 24 楼，实变函数的最开始就是集合论

小楫轻舟 2010-07-28

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[Quote=引用 23 楼 iambic 的回复:]

引用 21 楼 iamxmz 的回复:

lz等你实变函数学十遍的时候就知道了.....

别危言耸听了，这么简单的东西，和实变函数有什么关系。
[/Quote]
其实是有关系的，
一般《实变函数》的教材一开始都会说到集合的势的问题，
这些勒贝格积分的理论基础

iambic 2010-07-28

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[Quote=引用 21 楼 iamxmz 的回复:]

lz等你实变函数学十遍的时候就知道了.....
[/Quote]
别危言耸听了，这么简单的东西，和实变函数有什么关系。

zwicker 2010-07-28

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这个问题没必要讨论吧都是无穷的你能说谁多啊

iamxmz 2010-07-28

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lz等你实变函数学十遍的时候就知道了.....

Wisdom_star 2010-07-28

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[Quote=引用 10 楼 woaiguanjie 的回复:]

没学过数学的怎么这么多啊。无理数多的嘛。证明略。
[/Quote]请问阁下，在哪里能找到相关证明呢？

Wisdom_star 2010-07-28

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[Quote=引用 7 楼 hastings 的回复:]

我钱要是有那么多就好了~~~~
[/Quote]Wish that for you!

Wisdom_star 2010-07-28

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[Quote=引用 6 楼 liuwei2500 的回复:]

你这个问题就相当于问到了是中子多还是原子多一样。你说这样的东西谁能做一个详细的比较
[/Quote]能不能用类似不完全归纳法的证明，取其中几个部分，然后证明，这样可以推广到无穷多个吧！~？

xixiaoliu 2010-07-28

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RE 11楼、15楼

集合论中关于无穷集的元素个数比较的定义是：
如果找到一种映射，使得 A 中的元素一一映射到 B 的一个子集的元素，那么称 A 的势（或基数，也就是通常理解的元素个数，可记为 card(A)）<= B；反之，A 的势 >= B；如果同时有 card(A) <= card(B) 和 card(A) >= card(B)，就认为 card(A) = card(B)。

不难证明有理数的个数和自然数的个数是相等的。（有理数可表示成分数，分子分母都是自然数）

列这么一张表
分子 1 2 3 4 5 6 ……
分母
1
2
3
4
5
6
…

从左上角一个一个数下来，就把有理数和自然数一一对应起来了。

下面来证明[0, 1) 中的实数和自然数不能构成一一对应。如果可以，那么可以把[0,1)中的所有实数（实数都可以表示成无限小数）列出来：
f1 = 0.axxxxxx...
f2 = 0.xbxxxxx...
f3 = 0.xxcxxxx...
...

现在构造这么一个数
F = 0.ABCDEFG... 其中 A 不等于 a，B 不等于 b，C 不等于 c，。。。
也就是，这个 F 属于 [0,1)，但不在刚才的列表中，它没有被“数进去”

所以[0,1)上的实数（实际上等同于全体实数）比自然数多得多，也比有理数多得多。

进一步可证明有理数只是实数中很小的一部分。全体实数和全体无理数一样多。

iambic 2010-07-28

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这是个很经典的算法，一般大学修过高等数学的都知道吧。像学点科普的看看《什么是数学》吧。

小楫轻舟 2010-07-28

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[Quote=引用 11 楼 lazy_2010 的回复:]

有理数是可列的，无理数是不可列的，所以说无理数多。

或者说，如果我们试图建立有理数集合与无理数集合的一一映射关系，总会有无理数找不到对应的有理数。在这个意义上，无理数多。
[/Quote]

顶，
楼主想要知道更多的话，看看科普书籍《从一到无穷大》，
里面还有证明的，还有希尔伯特旅馆这个有趣的概念

楼主若想再专业下去，看看《集合论》