Fibonacci Nim的证明

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Fibonacci Nim是如下一种游戏
有一堆石子,两个人轮流从其中取走一定的石子,取走最后所有石子的人为赢家,不过得遵循如下规则:
1.第一次取不能取完,至少取1颗.
2.从第二次开始,每个人取的石子数至少为1,至多为对手刚取的石子数的两倍。

现知道对于n = F[n](F[n]是Fibonacci数列)时,先手必输(我们假定两个人都按照最优策略取石子)
对于n != F[n]时 先手必胜。

不过不知道该怎么证明,哪位大哥给帮帮忙,提示下也行。

[绿色夹克衫]

就是一个斐波那契进制的问题，已知斐波那契数列F(n) <= F(n-1) * 2，因此任何一个数都可以转化为一个斐波那契进制的数，并且每一位只有0或1，然后按照这个进制来拿，就可以了。

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哦 我懂了,谢谢了.现在就给分

[insanehui]

楼上说Fibonacci进制大概能体会是个什么概念，但能不能具体讲一下如何拿？还有保证能取胜或者必输的原因，或者给一个有详细讲解的链接也行啊，谢谢啦！

[michael122]

这种问题，google就行了
http://yjq24.blogbus.com/logs/46150651.html

这里写的很不错
不过最后一句推导有笔误，应该是
f[k]=x+y<f[k-1]+f[i]+…+f[j]+f[j-1]<=f[k-1]+f[i]+f[i-1]<=f[k-1]+f[k-2]=f[k]

[michael122]

主要思想就是任意一个非Fibonacci数都可以表示成若干个不连续的Fibonacci数的和

[insanehui]

[Quote=引用 3 楼 michael122 的回复:]
这种问题，google就行了
http://yjq24.blogbus.com/logs/46150651.html

这里写的很不错
不过最后一句推导有笔误，应该是
f[k]=x+y<f[k-1]+f[i]+…+f[j]+f[j-1]<=f[k-1]+f[i]+f[i-1]<=f[k-1]+f[k-2]=f[k]
[/Quote]

万分感谢！！！

[insanehui]

[Quote=引用 4 楼 michael122 的回复:]
主要思想就是任意一个非Fibonacci数都可以表示成若干个不连续的Fibonacci数的和
[/Quote]

micheal你是我偶像啊！哈哈~

[地区码空白]

楼上的,你给的链接我看过,我在Google搜过,好像中文的也就这篇文章吧,不过看的时候有些东西还是不懂,所以才来这里问的。
对于你给的那个链接中的文章,我有如下疑问:
"而这个我们可以通过第二类归纳法来绕过",这句话不是很懂,为什么可以跳过？取5颗的时候怎么弄的呢？(虽然我自己知道该怎么走,可是不会证明)

[michael122]

第二数学归纳法啊，当前如果归纳n的话，就假设对小于n的所有数，都有结论： 是Fibonacci数就先手败，否则先手胜
当n=83=55+21+5+2时，先手拿走2颗，扔给对方的问题就是n=5，且对方先走，那么根据归纳假设，先走的那个人无论如何都可以取到这5颗里面的最后一颗，然后又变成n=21，先手的又可以拿走最后一颗，依次退下去，先手的就赢了……