再论今天热议的概率问题

[netplanet]

看到大家的讨论，实在无法继续淡定了。原贴(http://topic.csdn.net/u/20100904/16/47411458-044e-4f1e-bce9-203dda8d0902.html)的楼太高了，里面的答案五花八门，已经很难在原贴继续讨论了。

我想先明确一下前提：主持人事先知道三个盒子中哪个有奖品 （其他前提不在本贴讨论的范畴），无论抽奖者选中哪个盒子，主持人都打开另外的两个盒子中一个不含奖品的盒子，并且询问抽奖者要不要换选剩下的那个未打开的盒子。问题：如果换盒子中奖概率会不会提升。

中奖概率会不会提升怎么衡量呢？ 通俗点说，就是相同的游戏，第一个抽奖者玩100000盘，每次都不换，和第二个抽奖者玩100000盘，每次都换，看哪个人抽中的次数多。



这个是所谓的三门问题，很有意思。当时有这个节目的时候也引起过很多讨论，答案也是五花八门, 最初的倾向是换和不换都一样，后来又倾向于换，然后许多计算机模拟程序也证明了换后概率为2/3。

我觉得之前有同学将3个盒子换成10000000000个盒子,把问题极端化的思考方式很有助于理解原来题目的答案。

如果这10000000000个盒子里只有一个藏有奖品，让你随机抽一个，这时候你抽中的概率是1/10000000000，基本上可以忽略不计。但如果真有个好心的主持人，事先知道哪个盒子装有奖品，帮你打开9999999998个空盒子（也就是说帮你排除了9999999998个错误的选择），问你要不要换成剩下两个盒子中未被你选中的那个，你换么？记住，他已经帮你排除了9999999998个错误的选择，而前文已经解释过，你之前选中的那个盒子，中奖的概率几乎为0，那剩下的那个盒子，几乎百分之百就是装着奖品的盒子。这个几乎百分之百是怎么来的呢？很简单，由9999999999/10000000000得来的。

而换回原来三个盒子的情况，就是2/3

有人可能会问，节目主持人怎么会那么好心呢？其实倒不是当时的节目主持人真的那么好，这么做的原因可能是为了使节目更加紧张刺激。而从事后五花八门的讨论结果来看，很可能当时节目的制做人也没考虑到这样反而可以增加中奖的概率

另外，至于主持人的态度如何，参与游戏人的心理状态会受何种程度的误导，如果要把这些考虑进去，那就不适合运用概率模型了。因为概率模型总会假设一些"理想条件"成立。


有同学说这个用古典概型就可以解决，这个我不否定。不过这个的确也是一个运用条件概率模型解决问题的经典例子，其他例子还有"三囚徒问题"。

[netplanet]

[Quote=引用 12 楼 liujingkun2323 的回复:]
楼主，换个问法问你.
世界杯，64支队比赛，比赛前，我选1支队伍下注，此时我这支队伍夺冠的几率是1/64，
忽略过程，直接进决赛，我发现，我选的队伍在决赛中。请问此时我选的队伍夺冠机率是多少？

引用楼主的话：
如果这10000000000个盒子里只有一个藏有奖品，让你随机抽一个，这时候你抽中的概率是1/10000000000，基本上可以忽略不计。但如果真有个好心的主持人，事先知道哪个盒……
[/Quote]

再给你提供一个思路，其实应该也是beyond071想表达的。如果你拿世界杯做n次概率实验，每次随机选一只球队，你会发现你选的球队几乎不会出现在决赛中。但是做抽奖的概率实验，由于主持人事先知道哪个盒子里装有奖品，你所选择的那个盒子永远都会出现在"决赛"中。

[netplanet]

[Quote=引用 15 楼 kltwjt 的回复:]
闲的蛋疼是吧。。。
你这样想，3个盒子排序，主持人始终那的是第3个盒子，给你看。。。
你拿了1或者2，不管怎么样，开始3个盒子位置定下来了，概率都一样。。。
用着开贴么。。。
[/Quote]

我写了一大堆，你估计看都没看就认定自己的想法是对的。所以说有时候对某些人解释太多真的是闲的蛋疼。。。

[rt112000]

想起电影blackjack中的情节。。

换，猜对的几率是2/3，不换，几率是1/3。 剧中解释是variable changes。。

以下解释摘自维基百科，Marty Hall问题（问题一样，桥段不一样而已）


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有叁种可能的情况，全部都有相等的可能性（1/3）：

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第叁种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因為叁种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。

如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两隻山羊中剔除其中一隻，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是1/2。

还可以用逆向思维的方式来理解这个选择。无论参赛者开始的选择如何，在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊，换之后百分之百赢；如果参赛者先选中汽车，换之后百分之百输。而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3。所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。



还可以用逆向思维的方式来理解这个选择。无论参赛者开始的选择如何，在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊，换之后百分之百赢；如果参赛者先选中汽车，换之后百分之百输。而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3。所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。

[hblac]

楼主别再解释了，再解释就不淡定了。我蛋疼，来接分

[netplanet]

[Quote=引用 20 楼 hblac 的回复:]
楼主别再解释了，再解释就不淡定了。我蛋疼，来接分
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淡定就不会有这个帖了。。。

[netplanet]

又看了一下原帖中的回帖。发现绝大部分犯错的人都觉得随着主持人打开了一个空盒，抽奖人中奖的概率突然由原来的1/3变成了1/2。

乍一看这想法似乎有点道理，因为只剩下两个未开过的盒子。

其实不然。因为主持人知道哪个盒子里装有奖品，所以抽奖者无论抽哪个盒子，主持人总可以翻开一个空盒。所以抽奖者第一次抽中的盒子中装有奖品的概率至始至终就是1/3。

老有人一拍脑袋就下了个错误的结论，而且加以"这还用想么"，"很明显嘛"之类的字眼。其实这类概率问题的答案真的不是显而易见的，因为人凭感觉对概率的估计经常会和实际概率差之千里，比如著名的"生日悖论"，凭感觉怎么也不会相信一个23人组成的班级就会有超过百分之五十的概率有两人生日相同。

[wizard_tiger]

如果你手中的盒子概率始终是1/3当主持人拆开一个空盒那么请问你没选的盒子的概率为什么会变？

[Quote=引用 13 楼 beyond071 的回复:]
比如你选了英格兰，我告诉你荷兰，法国，日本，巴西...等队都被淘汰了（并不告诉你它们在几分之一决赛被淘汰的），我这剩下最后一支队（西班牙队），你选不选啊？
[/Quote]
请问主持人会拆开你手中的盒子吗？

至于主持人事先知道哪个盒子有奖品，如果你手中的盒子有奖品那么主持人只要任选桌子上的一个盒子打开即可，这难道不可能吗？

引用楼主的话：
如果这10000000000个盒子里只有一个藏有奖品，让你随机抽一个，这时候你抽中的概率是1/10000000000，基本上可以忽略不计。但如果真有个好心的主持人，事先知道哪个盒子装有奖品，帮你打开9999999998个空盒子（也就是说帮你排除了9999999998个错误的选择），问你要不要换成剩下两个盒子中未被你选中的那个，你换么？记住，他已经帮你排除了9999999998个错误的选择，而前文已经解释过，你之前选中的那个盒子，中奖的概率几乎为0，那剩下的那个盒子，几乎百分之百就是装着奖品的盒子。这个几乎百分之百是怎么来的呢？很简单，由9999999999/10000000000得来的。
当主持人打开那9999999998个空盒你手中的盒子概率难道不变吗？
如果不变请问你没选的盒子的概率为什么一直在增加。

[showjim]

[Quote=引用 23 楼 wizard_tiger 的回复:]
当主持人打开那9999999998个空盒你手中的盒子概率难道不变吗？
如果不变请问你没选的盒子的概率为什么一直在增加。[/Quote]
因为你的盒子和那9999999999个盒子被主持人分成了两部分，在主持人选空盒的时候，永远不会选你手中的盒子，本质上也就是说你手中的盒子根本就没有参加主持人的选择，所以主持人打开空盒的行为不会影响到你手中的盒子，而只会影响到其它盒子。

[xxx111zz]

[Quote=引用 13 楼 beyond071 的回复:]

引用 12 楼 liujingkun2323 的回复:
楼主，换个问法问你.
世界杯，64支队比赛，比赛前，我选1支队伍下注，此时我这支队伍夺冠的几率是1/64，
忽略过程，直接进决赛，我发现，我选的队伍在决赛中。请问此时我选的队伍夺冠机率是多少？

引用楼主的话：
如果这10000000000个盒子里只有一个藏有奖品，让你随机抽一个，这时候你抽中的概率是1/10000000000，……
[/Quote]
彩票那个也是显然的我也有1/2中奖几率了

[liufang421]

真搞不懂这跟主持人知不知情有什么影响，他的行为已经完成，已经确定是翻出了一个空盒子，难到他知不知情还能影响到什么？10000个盒子一个有奖，你先抽一个，然后让个运气超霉的人抽走9998个空的，剩下个归我，
你说你中奖容易？我中奖容易？

你说他不知情，不可能抽走9998个空的，好，但是条件里面的主持人的确已经抽出了一个空盒子，不能改变了，不管他知不知情，所以肯定是要换的。

对于主持人不知情的问题，其实是主持人再不知情的情况下抽出了一个空盒子，是存再一定几率的，但是已经发生，成为确定事件，他对后面行为的影响就跟，知情下抽出空盒是一样的。

[sunny_yu]

呵呵，这个问题我建议换之前去请个算命先生看下命。命不好就换，命不好就不换。。。。。

[showjim]

[Quote=引用 31 楼 liufang421 的回复:]
真搞不懂这跟主持人知不知情有什么影响，他的行为已经完成，已经确定是翻出了一个空盒子，难到他知不知情还能影响到什么？10000个盒子一个有奖，你先抽一个，然后让个运气超霉的人抽走9998个空的，剩下个归我，
你说你中奖容易？我中奖容易？

你说他不知情，不可能抽走9998个空的，好，但是条件里面的主持人的确已经抽出了一个空盒子，不能改变了，不管他知不知情，所以肯定是要换的。

对于主持人不知情的问题，其实是主持人再不知情的情况下抽出了一个空盒子，是存再一定几率的，但是已经发生，成为确定事件，他对后面行为的影响就跟，知情下抽出空盒是一样的。
[/Quote]
谢谢你的提醒，按照题目的描述，确实和主持人是否知情没有关系，关键是主持人是在哪些盒子里面选出来的，哪些盒子概率受影响。那么按照题目的描述，不管怎么样都应该换的。

不过实际生活中，主持人要知情才一定会发生题目中的结果，否则题目中的这种条件是不一定会出现的，比如主持人抽中了有奖的盒子，游戏就没有意义了。这里提出来，是想让后面的看客能区分这两种情况，虽然后面这种不符题意。

[zhaolinger2]

[Quote=引用 31 楼 liufang421 的回复:]
真搞不懂这跟主持人知不知情有什么影响，他的行为已经完成，已经确定是翻出了一个空盒子，难到他知不知情还能影响到什么？10000个盒子一个有奖，你先抽一个，然后让个运气超霉的人抽走9998个空的，剩下个归我，
你说你中奖容易？我中奖容易？

你说他不知情，不可能抽走9998个空的，好，但是条件里面的主持人的确已经抽出了一个空盒子，不能改变了，不管他知不知情，所以肯定是要换的。

对于主持人不……
[/Quote]

TMD终于有人说到俺们心眼里了。
这两天看的都累死了，各种招数都上，什么人都有，最后连这么个简单可想的问题都搞不定，唉……
偷梁换柱、李代桃僵、指鹿为马……
连“主持人确定打开了一个空盒子”这样一个由可能性变成必然性的事件都没有注意到，还在考虑主持人是不是知道内情……我笑死了……按这样说的话，上帝所有的事情都知道内情，是不是我们就会认为每件事的发生都是100%必然发生或者必然不发生的？人家上帝知道的事情，关你什么事，我们就是一草民而已，该猜的还得猜，该做的还得做。

[netplanet]

[Quote=引用 23 楼 wizard_tiger 的回复:]
请问主持人会拆开你手中的盒子吗？
[/Quote]

不会，请注意前提。

[Quote=引用 23 楼 wizard_tiger 的回复:]
至于主持人事先知道哪个盒子有奖品，如果你手中的盒子有奖品那么主持人只要任选桌子上的一个盒子打开即可，这难道不可能吗？
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可能啊。但不理解你想通过这个表达什么。。。

[Quote=引用 23 楼 wizard_tiger 的回复:]
如果你手中的盒子概率始终是1/3当主持人拆开一个空盒那么请问你没选的盒子的概率为什么会变？
[/Quote]

你手中的盒子是你随机选中的，而剩下的没选的那个盒子是主持人在知道内情的情况下刻意留出的。

[netplanet]

[Quote=引用 25 楼 xxx111zz 的回复:]
彩票那个也是显然的我也有1/2中奖几率了
[/Quote]

又见"显然"。。。对你我真的放弃解释了。

[wizard_tiger]

[Quote=引用 24 楼 sbwwkmyd 的回复:]
引用 23 楼 wizard_tiger 的回复:
当主持人打开那9999999998个空盒你手中的盒子概率难道不变吗？
如果不变请问你没选的盒子的概率为什么一直在增加。
因为你的盒子和那9999999999个盒子被主持人分成了两部分，在主持人选空盒的时候，永远不会选你手中的盒子，本质上也就是说你手中的盒子根本就没有参加主持人的选择，所以主持人打开空盒的行为不会影响到你手中的盒子，而只会影响……
[/Quote]
那么如果主持人先打开那9999999998个空盒只剩下两个盒子再让你选请问概率为多少？
和原题又有什么不同？

[Arucart]

[Quote=引用 28 楼 wizard_tiger 的回复:]
引用 24 楼 sbwwkmyd 的回复:
引用 23 楼 wizard_tiger 的回复:
当主持人打开那9999999998个空盒你手中的盒子概率难道不变吗？
如果不变请问你没选的盒子的概率为什么一直在增加。
因为你的盒子和那9999999999个盒子被主持人分成了两部分，在主持人选空盒的时候，永远不会选你手中的盒子，本质上也就是说你手中的盒子根本就没有参加主持人的选择，所以主持人打……
[/Quote]

明显不同，懒得解释

[showjim]

[Quote=引用 28 楼 wizard_tiger 的回复:]
那么如果主持人先打开那9999999998个空盒只剩下两个盒子再让你选请问概率为多少？
和原题又有什么不同？[/Quote]
1.要看那9999999998个空盒是否与概率相关，与其它哪些盒子相关。(原题中的9999999998个空盒一开始与所有盒子相关，所有盒子的根据都是1/n。后来主持人打开盒子的时候只与另一只盒子相关，与你手中的盒子没有关系，随机空盒的打开，概率被平摊到了其它盒子中。前提是主持人能够保证只打开空盒子，也就是说主持人在打开盒子之前是知道哪个不是空盒子)
2.如果主持人先打开那9999999998个空盒子(没有其它前提条件)，那么这些盒子与另外两个盒子不相关，这时剩下的盒子概率各为50%。
3.能够抓到本质的东西，再怎么变着说也只是一时的自欺欺人。

[netplanet]

说"主持人知道内情"这个前提不重要的人，好像忘记了概率"不是一盘决胜负"的事。如果主持人不知道内情的情况下做概率试验，你觉得玩10000盘,会有几盘那么巧刚好主持人翻开的9999999998个盒子全是空的？

[netplanet]

[Quote=引用 28 楼 wizard_tiger 的回复:]
那么如果主持人先打开那9999999998个空盒只剩下两个盒子再让你选请问概率为多少？
和原题又有什么不同？
[/Quote]

这和原题的确不同。如果把原题改为主持人打开9999999998个空盒子，让你随机选择换或不换(比如通过扔硬币决定)，那这两个问题就等价了。这时候你有百分之五十的概率抽到奖。