正方形里点到中心的距离大于到边界的距离的概率

[Justmeh]

往一个正方形里随机扔一个点，则这个点到正方形中心的距离大于到边界的距离的概率为多少？
各位大侠能给出数学方法或计算机编程方法么？

[Justmeh]

嗯，多谢各位了，我明白了，没有想的那么难。
是我一时算不出来，然后就把问题想杂了。

[fire_woods]

如果扔点的随机模式是正方形内平均投放的话.

找出正方形内到中心点距离大于到边界距离的所有点组成的图形的面积.
然后除以真放进的面积,就是概率了.

[Justmeh]

嗯，我也是这么想的。
但是数学上不太容易算出来，不知道您能算出结果来么？

[fire_woods]

正方形的中心点为左边原点, 只计算1/8区域即可,比如45-90度的区域.
然后计算距离刚好相等的方程,即
sqrt(x^2+y^2)=1/2-y
然后解出y的解析式
y=1/4-x^2
然后定求积分就可以了.
最后注意减去下面的一个三角形的面积, 还有算出来的值要/8, 以及这个是到正方形中心的距离小于到边界的距离.

[michael122]

把正方形中心放在圆心上，然后按照象限和象限的对角线把正方形划为八块等腰直角三角形，则这八块是完全对称的，算一块就行了。假设三角形的直角边长为1
那么有限制条件：
1<=x<=1
0<=y<=x
sqrt(x^2+y^2)=1-x //算那条分界线

然后很容易解出来 方程是y^2=1-x 抛物线
它和三角形的交点是x=1/2，y=0 和 x=y=sqrt(2)-1
面积用积分算一下就行了，不难

[fire_woods]

michael122, 被你抢先了. 就差了几秒

[michael122]

手算了一下，大概是78.1%
不知道算错没有。。

[michael122]

看时间，还是我的慢一点，显示出来却是我在前面。。。rp啊。。

[Quote=引用 5 楼 fire_woods 的回复:]

michael122, 被你抢先了. 就差了几秒
[/Quote]

[air_snake]

每天在这复习数学。

[somebody]

这就是多项不等式求域的问题：抽象成数学模型是这样的：
设正方形的四个顶点分别为：（0,0）（0，a）（a,0）（a,a）,则正方形的中心为（a/2,a/2）:
设任意点坐标为（x,y）则：
上面的问题就可以简化为：
√(x-a/2)²+(y-a/2)²>x,y,a-x,a-y中的最小者;即有：
第一种情况：
√(x-a/2)²+(y-a/2)²>x
y>x
a-x>x
a-y>x
第二种情况：
√(x-a/2)²+(y-a/2)²>y
x>y
a-x>y
a-y>y
第三种情况：
√(x-a/2)²+(y-a/2)²>a-x
x>a-x
y>a-x
a-y>a-x
第四种情况：
√(x-a/2)²+(y-a/2)²>a-y
x>a-y
y>a-y
a-x>a-y
四种情况的域积求并。即得到满足条件的面积！再除以总面积就可以了！