区间树判定算法

[夜雨_倚琴]

1 单个变量的情况，比如：(A为整数)
A[1, 10], A[2, 27], A[1, 5], A[16, 25] ....
有N条这样的区间，每个区间表示变量A可以在该区间内取值。
求：[X, Y]是否被某一区间所包含？(只要判断是否即可)
比如按照上面的例子，[4, 4]被某一区间包含, [12, 14]不被任何区间包含。

考虑到N很大，所以要求找到O(lgN)的算法，根据《算法导论》里面的讲解，可以构建一个区间树(红黑树的变形)，来进行求解。


2 但如果扩展一下，变成多个变量的情况，如：
A[1, 10]&&B[3, 6], A[2, 27]&&B[4, 7], A[1, 5]&&B[6, 11] ...
解释一下A[1, 10]&&B[3, 6]这个区间表示含义是，A在[1, 10]取值，同时B在[3, 6]取值。

这无疑增加了题目的难度，思索大半天，觉得对多个变量的情况，用区间树很难有O(lgN)的解法。
那么如何找到O(lgN)的解法呢？

我知道算法版的大牛很多，象原来经常看到的math, 骇客兄等等。很希望能借这个问题向诸位请教下。谢谢~

[fanster28_]

无非扩展一维区间树到二维或者多维

[jinwen0915]

我觉得可以把MAX改为B区间的最大值~ 我的想法就是把2个区间当作一个来看，中间空余的先无视，查找对象也如此考虑~ 这样可以找出多个可能包括目标区间的节点，然后再判断~但最坏情况时间复杂度是O(n)

[夜雨_倚琴]

是的，这个附件变量的选择有点棘手。

[夜雨_倚琴]

[Quote=引用 5 楼 litaoye 的回复:]

把线段树的每个节点再连到一棵关于B的树，应该就差不多了。
[/Quote]

恩，在一棵关于A的线段树上对每个节点连一个关于B的线段树，如果还有变量C的就挂在B的节点上。
fanster28_ 指的应该也是这个意思。

我之前也想过这个方案，不过认为这个方案是复杂度为O(N)。现在仔细分析下，这个方案时间确实为O(logN)

只是多维的话，实现起来有点复杂，大家还有没有更好的办法呢？

没有的话，准备结贴了。

[绿色夹克衫]

空间比较大，前期预处理时间比较长，每次查询应该算log(n)*log(n)的。

[Quote=引用 9 楼 lunar_lty 的回复:]
我之前也想过这个方案，不过认为这个方案是复杂度为O(N)。现在仔细分析下，这个方案时间确实为O(logN)

只是多维的话，实现起来……
[/Quote]

[夜雨_倚琴]

应该没有log(N)*log(N)吧？

简单地，假设B树的节点个数为m, A树的节点个数为n。
总的节点个数为N = m*n

查找时间 O(logm)+O(logn) = O(log(m*n)) = O(logN)

[绿色夹克衫]

把线段树的每个节点再连到一棵关于B的树，应该就差不多了。

[绿色夹克衫]

btw，lz名字中的后三个字，和我的名字好像呀！

[夜雨_倚琴]

如何扩展？能否说得具体些。


针对一维的，也就是单个变量的情况，假设每个区间表示为[low, high]，以low为键值建立区间树，以另外，利用附加变量max表示改节点的子树中最大的high值，如下：
[4, 8]max=11
/ \
[2, 5]max=9 [4, 11]max=8
/ \ \
[1, 3]max=3 [3, 9]max=9 [8, 10]max=10

加附加变量很重要，利用它可以保证在查找区间的时间为O(lgN)，假设要查找[x, y]是否被某一区间覆盖。

1 从根节点开始查找。
2 查看当前节点区间是否覆盖[x, y]若覆盖直接返回查找成功；
否则查看左子树的最大high值是否大于等于x，>=则再从左子树开始查，否则再从右子树开始。
3 当前节点为NULL,返回查找失败。


问题：如果扩展为二维区间数，这个附加变量如何选取？如果保证O(lgN)的复杂度和查看的正确性

[夜雨_倚琴]

⊙﹏⊙b汗，应该是tab导致没对齐，区间树补上：

[4, 8]max=11
/ \
[2, 5]max=9 [4, 11]max=8
/ \ \
[1, 3]max=3 [3, 9]max=9 [8, 10]max=10

[夜雨_倚琴]

---------[4, 8]max=11
--------/ ------------\
-------/---------------\
------[2, 5]max=9-------[4, 11]max=11
-----/-------- \--------------- \
----/-----------\----------------\
---[1, 3]max=3 [3, 9]max=9 --------[8, 10]max=10