求证

[supernove]

求证
pop(x) = x -[x/2]-[x/4]-...-[x/2^31]

pop(x)为数x二进制表示中 1 的个数（32位）

摘自《代码之美》

[prohibit]

理论上的证明不会，就写这段代码来证明

#include <iostream>
using namespace std;

int pop(int x)//《代码之美》思路
{
	int ret = x, tmp = 1; 
	for(int i = 1; i <= 31; i++)
	{
		tmp *= 2;
		ret -= (x/tmp);
	}
	return ret;
}
int jud(int x)//另一种思路、将结果与上一种思路对比
{
	int ret = 0, tmp = x;
	while(tmp)
	{
		if(tmp & 0x01)
			ret++;
		tmp = tmp >> 1;
	}
	return ret;
}
int main(void)
{
	int n = 1225;//n值可以改变
	char arr[32] = {0};

	itoa(n, arr, 2);//二进制字符串
	puts(arr);

	cout << "pop() = " << pop(n) << endl;
	cout << "jud() = " << jud(n) << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

[supernove]

这两种思路我知道，我主要还是想弄清楚，这个式子的理论上的意义
还是多谢

[prohibit]

比如一个int类型数13占4个字节、用完整的32位二进制数表示是0000...00001101、即1101前面一共有28个0；
x/2、x/4、...、x/2^31可看成是依次往右移1、2、...、31位，也就是x/2相当于x>>1、x/4相当于x>>2……
所以这里可以这样处理：若x移位(1-31位)前是偶数、即二进制的最低位为0，且a=x/2等于b=x-x/2，若x移位(1-31位)前是奇数、即二进制的最低位为1，且1加a=x/2等于b=x-x/2，这里的思路就是判断移位前最低位是0(b-a==0)还是1(b-a==1)、然后计算是1的次数；
好，下面以刚才说的13（二进制为1101）为例，以另一个变量count=0来计数1的个数：
往右移1位得110(x>>1，a=x/2=6)、移除最低位1，b=x-x/2=7，count += ((x-x/2)-x/2);
往右移2位得11(x>>2，a=x/4=3)、移除最低位0，b=x/2-x/4=3，count += ((x/2-x/4)-x/4);
往右移3位得1(x>>3，a=x/8=1)、移除最低位1，b=x/4-x/8=2，count += ((x/4-x/8)-x/8);
往右移4位得0(x>>4，a=x/16=0)、移除最低位1，b=x/8-x/16=1，count += ((x/8-x/16)-x/16);
往右移5位得0(x>>5，a=x/32=0)、移除最低位0，b=x/16-x/32=0，count += ((x/16-x/32)-x/32);
...
往右移30位得0(x>>30，a=x/2^30=0)、移除最低位0，b=x/2^29-x/2^30=0，count += ((x/2^29-x/2^30)-x/2^30);
往右移31位得0(x>>31，a=x/2^31=0)、移除最低位0，b=x/2^30-x/2^31=0，count += ((x/2^30-x/2^31)-x/2^31);
剩下二进制最后一位x/2^31，要么为1要么为0，count += x/2^31

count = ((x-x/2)-x/2) + ((x/2-x/4)-x/4) + ((x/4-x/8)-x/8) + ((x/8-x/16)-x/16) + ((x/16-x/32)-x/32) + ... + ((x/2^29-x/2^30)-x/2^30) + ((x/2^30-x/2^31)-x/2^31) + x/2^31 = x-x/2-x/2 + x/2-x/4-x/4 + x/4-x/8-x/8 + x/8-x/16-x/16 + x/16-x/32-x/32 + ... + x/2^29-x/2^30-x/2^30 + x/2^30-x/2^31-x/2^31 + x/2^31 = x - x/2 - x/4 - x/8 - x/16 - x/32 - ... - x/2^30 - x/2^31
得证~~