送分帖，数学功底好的人进

[Evap]

现有结构

struct VECTOR3D
{
    double x,y,z;
};

代表三维空间中的向量。

问题很简单，
写一个函数生成随机单位向量（随机的，长度为1的向量）
使随机产生的向量在每个方向上的概率均相等.

随机函数只能调用rand()和srand()

[peng_weida]

楼上的公式 貌似 不正确呀

[tonglei25]

悲剧，太粗心了，谢谢楼上提醒。再次更正 x=r*sin(a)*cos(b);y=r*sin(a)sin(b);z=r*cos(a);

[Evap]

貌似真要散分的说，^^

15楼对问题的理解很不错，半径为1的球体上随意的找一个点，要求概率分布是均匀的

有朋友提到，随机X,Y,Z 再单位化，这个方法肯定不是概率均匀的

还有朋友提到概率不可能均匀的问题，所以有一点我必须申明
既然要求了概率均匀，那我们必须先暂且认为rand()函数随机出来的数是均匀等概率的，不然这个问题如何解答呢？
另外rand()函数的值域是0~32767的整数。

[Evap]

[Quote=引用 2 楼 tiger9991 的回复:]
楼主,是每个方向上的斜率都相等么?
如果是的话,只要一次使用rand()生成3个参数,以后都是根据向量1来计算即可啊.
如果不是的话,楼主能不能把题目再描述的更清楚些,谢谢
[/Quote]

是每个方向上的概率都相等，注意是三维空间中的

再说详细一点，就是
在半径为1的球体上随意的找一个点。
要求是：
当随机找了很多很多点后，球面上这些点的密度都是均匀的。

可能会有人说不可能绝对均匀，那是当然，因为你抛10000次硬币，不见得就是5000次正面，但至少能保证的是，正面的概率是1/2

[Evap]

[Quote=引用 3 楼 joanlynnlove 的回复:]
随机生成两个角度a和b。
再根据数学公式可得到x,y,z.
其实都是伪随机的。。。
[/Quote]

[Quote=引用 11 楼 kissxyl 的回复:]
可以这样，预先的创建3个数组
double rx[360],ry[360],rz[360];
给这3个数组赋值为0~359
然后对这3个数组排序，原本判定大小的地方，换用伪随机函数rnd，以此得到3组随机顺序的角度数组。

然后你轮询的使用即可。顺序的使用这3个数组，结果就是随机的。
有了角度，有了向量，你就让3个方向各平均分配一部分，然后随机产生一部分。

思路就这样，代码懒得写……
[/Quote]

这两位朋友的思路都是用角度，正确答案也是用角度
不过这样随机出来的向量在各个方向上不均匀

设想 地球的纬度有南纬90度到北纬90度，
每个纬度有360个经度，
南极90度随到的概率应该和赤道相等
如果南极90度上有100个点，赤道这么大一圈，也只有100个点，那怎么均匀呢？

[superdiablo]

这个为什么肯定不是均匀的？你的理由是什么？
[Quote=引用 22 楼 direct4d 的回复:]
...
有朋友提到，随机X,Y,Z 再单位化，这个方法肯定不是概率均匀的
...[/Quote]

[Evap]

[Quote=引用 25 楼 superdiablo 的回复:]
这个为什么肯定不是均匀的？你的理由是什么？

引用 22 楼 direct4d 的回复:
...
有朋友提到，随机X,Y,Z 再单位化，这个方法肯定不是概率均匀的
...
[/Quote]

好吧，我这就给你个理由

这样做的话，靠近有8个地方的点要比其他地方稍微密一些，分别是球的内接正方体的8个顶点附近。

设想有一正方体，长宽高都分为n份，然后让在这些网格的交点上都画上点，
我想你应该感觉得出来，正对这正方体的一面的点比较稀少，而你将视线移动至正方体对角线时，是不是感觉点要密一些呢？

既然这样 规范化至单位1后，肯定也是不均匀的。

[Evap]

假如你的x,y,z都是-1到1随机，
生成的点就在棱长为2的正方体内均匀分布，对吧

然后在正方体内作一个内切球
落在球内点的是均匀分布的，
但不在球内的点都在什么位置呢？ --- 8个顶点附近，
规范化后， 只能使8个顶点附近的点比较密

[schlafenhamster]

根据“大数定理”任何分布的随机变量和为高斯分布。
抛10000次硬币的分布就是高斯分布

[Evap]

是时候结贴了,不然分不够散了.

70分给最接近正确答案的，30分分给用时最少的答案

分布均匀的答案：
生成两个随机的角度：a ∈[0，2*pi]，b ∈[-pi/2，pi/2]其中a,b分别代表经度和纬度
a的概率密度曲线为 phi(a) = 1/2*pi ，即每个a等概率密度

关键在于b的分布，b不能像a一样也均匀分布
因为b是纬度，而纬度线长短不一，设想如果b=pi/2的概率密度和b=0的概率密度相等的话, 那么随机出来的向量在南北极将很密集.

怎么随机b的问题转化为:
对于随机变量b ∈[-pi/2，pi/2],
随机出小于b0的概率, 等于球面上小于纬度b0的球面表面积除以总表面积.

球面上小于纬度b0的球面表面积 S(b0) = 2*pi*R*R*(sin(b0)+1).
这个公式怎么得来的这里就不写了吧, 用的知识是微积分.

等于球面上小于纬度b0的球面表面积除以总表面积的比值 P(b0,<) = (sin(b0)+1)/2.

这个公式便是随机出小于纬度b0的概率公式
现在只需求这个P(b0,<)函数的反函数,将概率P∈[0,1]作为均匀分布随机变量代入, 求得b, b必然满足我们要的分布.

最后
x=r*cos(a)*cos(b);
y=r*sin(a)*cos(b);
z=r*sin(b);

[Evap]

// 常数
const float Pi = 3.141592654f;
const float doublePi = 6.28318531f;

// 3D向量
struct VECTOR3D
{
    float x,y,z;
};

// 随机[min,max]实数
inline float RandFloat( float min, float max = 0 )
{
    return (rand()/32767)*(min - max) + min;
}

// 随机经度
inline float RandLongitude()
{
    return RandFloat(doublePi);
}

// 随机纬度
inline float RandLatitude()
{
    return asinf(RandFloat(-1, 1));
}

// 随机单位向量
VECTOR3D* RandIdentityVector(VECTOR3D* pOut)
{
    if (pOut)
        return NULL;

    float a = RandLongitude();
    float b = RandLatitude();

    pOut->x = cosf(a)*cosf(b);
    pOut->y = sinf(a)*cosf(b);
    pOut->z = sinf(b);
    return pOut;
}

[Evap]

按照刚才的思想还可以做出这样的随机

比如一把武器的攻击力是100~200

但越靠近200概率越小，越靠近100概率越大

则可采用下面代码

// 随机[min,max]实数
inline float RandFloat( float min, float max = 0 )
{
    return (rand()/32767)*(max - min) + min;
}

// 随机[min,max]实数，希望靠近min的概率大，靠近max的概率小
inline float RandFloatWishSmall( float min, float max )
{
    return (1.0f-sqrt(RandFloat(1)))*(max - min) + min;
}

#include <stdio.h>
void main()
{
    float damage;
    damage = RandFloatWishSmall(100,200);
    printf("%5.1f",damage);
}

[Evap]

我不过也就是最近做了个项目深有体会，
借此帖与大家分享！！

[lzl_2008]

需要两个0到360范围的随机数，分别代表水平方向的角度和竖直方向的角度.可以想像有两个指南针（但针方向是随机的，不指向南），第一个指南针水平摆放，第二个指南针顺着第一个指南针的指针竖直摆放。则第二个指南针的针方向就是楼主需要的向量

[nand库路泽]

惭愧惭愧！！数学居然都忘了！！

[superdiablo]

你为什么非得把xyz局限在某个范围呢？
[Quote=引用 26 楼 direct4d 的回复:]
引用 25 楼 superdiablo 的回复:
这个为什么肯定不是均匀的？你的理由是什么？

引用 22 楼 direct4d 的回复:
...
有朋友提到，随机X,Y,Z 再单位化，这个方法肯定不是概率均匀的
...


好吧，我这就给你个理由

这样做的话，靠近有8个地方的点要比其他地方稍微密一些，分别是球的内接正方体的8个顶点附近。

设想有一正方体，长宽高都分为……
[/Quote]

[wateryh]

对LZ的活动时间深表诧异

[tonglei25]

请百度 “三重积分的球坐标变换”

其实就是生成两个随机的角度：a ∈[-pi/2~pi/2]和 b ∈[0,2*pi]，a代表向量与x轴的夹角，b代表向量与z轴的夹角

x=r*sin(a)*cos(b);
y=r*sin(a)*cos(b);
z=r*sin(b);

其中r=1

[tonglei25]

上面a∈[-pi/2,pi/2],打错了

[Evap]

[Quote=引用 43 楼 superdiablo 的回复:]
你为什么非得把xyz局限在某个范围呢？

引用 26 楼 direct4d 的回复:
引用 25 楼 superdiablo 的回复:
这个为什么肯定不是均匀的？你的理由是什么？

引用 22 楼 direct4d 的回复:
...
有朋友提到，随机X,Y,Z 再单位化，这个方法肯定不是概率均匀的
...


好吧，我这就给你个理由

这样做的话，靠近有8个地方的点要比……
[/Quote]

X,Y,Z总有一个范围啊，就算计算机能够随机出（INF,+INF）按照这个原理，规范化出来的向量也不可能是每个方向都均匀的，道理我已经讲明白了，并且我还专门对这个做了测试的。