转：漫游勾股数世界（作者：蓉城勾股风）

[bolidecaster]

(求程序实现，语言不限)

漫游勾股数世界
蓉城勾股风
手机：[phone]（收短信、彩信，不接电话！）
2011年3月26日于成都

原初中几何第二册上有这样一道练习题，除3、4、5外，再找出5组勾股数。为了找到更多的勾股数，我们设计制作了表1勾股数计算表（使用CASIO fx-39函数型计算器手工进行计算）。
根据勾股定理a2+b2=c2，即“一个平方数加上又一个平方数等于另外一个平方数”。数学大师华罗庚的至理名言“巧办法从笨办法之中来”给予了我们极大的启示。首先建立勾平方的数据库，然后从3的平方数9开始，逐次两个平方数相加，9+16=25，对应得到一组勾股数3、4、5。再用25逐次往下加144，等于169，对应得到又一组勾股数5、12、13。如此经过反复计算得到表1中的数据。
一、通过分析表表1中的数据，如勾股数5、12、13。我们发现：勾为奇数时，对应的勾股数，“弦股之和等于勾的平方，弦股之差等于1”。即c+b=a2，c-b=1，整理后为：
平方数二分法：b=1/2(a^2-1) c=1/2(a^2+1)
该公式适用于计算勾为奇数（合数）和质数对应的勾股数。
二、对于勾股数6、8、10而言，“弦股之和等于勾的平方的1/2，弦股之差等于2”。即c+b=1/2a^2，c-b=2，整理后为：
平方数四分法：b=1/4a^2-1，c=1/4a^2+1
该公式适用于勾为偶数，且勾的平方要能被4整除。
三、对于勾股数20、21、29而言，“弦股之和等于勾的平方的1/8，弦股之差等于8”。即c+b=1/8a^2，c-b=8，整理后为：
③平方数十六分法：b=1/16a^2-4 c=1/16a^2+4
该公式适用于勾为偶数，且勾的平方要能被16整除。
四、对于勾股数48、55、73而言，“弦股之和等于勾的平方的1/18，弦股之差等于18”。即c+b=1/18a^2，c-b=18，整理后为：
④平方数三十六分法：b=1/36a^2-9 c=1/36a^2+9
该公式适用于勾为偶数，且勾的平方要能被36整除。
五、有公约数的勾股数称为派生勾股数。由于合数可以分解成质因数的连乘积，因此可进行排列组合，用倍数法计算派生勾股数，取有效勾股数组成复合勾股数。如a=15，可以分解为5×3，3×5，按上述方法计算，再加上15用平方数二分法计算，即可得到三组复合勾股数：15 20 25，15 36 39，15 112 113
其实以上所有计算勾股数的方法，都是在用华罗庚推介的“笨办法”计算出结果以后，经过观察、分析，推导出的公式。基本公式应该是平方数二分法和平方数四分法。
六、如果要编写程序计算勾股数，请按表1的格式进行。序号不能变动，以方便检索查阅数据；输出打印质数应从2开始重新按自然数排列序号。（100以上打印输出可去掉a2这一列）。勾为奇数时，用平方数二分法中的c值作为 “返回”条件；勾为偶数时，用平方数四分法中的c值作为“返回”条件。
输出结果分为三种：
1、全部勾股数，包括派生勾股数；
2、全部质数；
3、全部勾股数，去除派生勾股数。（怎样将勾股数和派生勾股数分离开来，这可能是一个难题！）
七、历史上，很多数学家都想找到求质数的公式。1640年数学家费马宣称用一个公式找到了所有的质数。实际上，只找到了3、5、17、257、65537五个质数。
八、平方数二分法是一个极其重要的发现。当勾为奇数，其对应的勾股数包含有派生勾股数时，则该奇数必然是合数；当勾为奇数，其对应的勾股数是唯一的一组勾股数时，则该奇数必然是质数！
九、人们在寻找求质数的公式时，怎么也不会想到质数和勾股数之间存在必然的联系。从一开始，我们的目标是寻找更多的勾股数。在计算勾股数的过程中，偶然发现了平方数二分法，从而发现“质数隐藏依附于勾股数之中”。在这里，质数不是用一个公式直接计算出来的，而是在计算勾股数的过程中自然产生的。
勾股定理是数学史上非常重要的定理之一。两千多年来，在找到了质数以后又一次焕发出无限的青春活力！


附表一 勾股数计算表
序号 a2 a勾 b股 C弦
3 9 3 4 5
4 16
5 25 5 12 13
6 36 6 8 10
7 49 7 24 25
8 64 8 15 17
9 81 9 12 15
9 40 41
10 100 10 24 26
11 121 11 60 61
12 144 12 16 20
12 35 37
13 169 13 84 85
14 196 14 48 50
15 225 15 20 25
15 36 39
15 112 113
16 256 16 30 34
16 63 65
17 289 17 144 145
18 324 18 24 30
18 80 82
19 361 19 180 181
20 400 20 21 29
20 48 52
20 99 101
21 441 21 28 35
21 72 75
21 220 221
22 484 22 120 122
23 529 23 264 265
24 576 24 32 40
24 45 51
24 70 74
24 143 145
25 625 25 60 65
25 312 313
26 676 26 168 170

[jbz001]

搞得很复杂

[gohome520]

数学是神奇的。

[zjx198934]

看到都昏了！ 最近在正滤波 很恼火！

[走走刀口]

不记得是初中还是小学学过了勾股定理，学过后就一直没理会了。没想到楼主研究得这么深！

[lfnetwork]

来晚了，打下酱油

[cnmhx]

pythagorean theorm!
ha

[ipqing]

xuexixuexi

[笑遨浆糊]

数学奥秘太多 帮顶 散点分给小弟吧 谢谢

[cnmhx]

哇，居然有这事？
哈哈

[Oo纳兰筱DoO]

楼主什么意思

[mathe]

勾股数数学家已经了解的很清楚了。如果a^2+b^2=c^2,而且a,b,c互素,也就是本题中去除派生勾股数情况，那么通解可以写成a=u^2-v^2,b=2uv,c=u^2+v^2,其中(u,v)=1.
当然对于一般情况，将a,b,c再乘上任意公因子d即可，即
a=d(u^2-v^2),b=2uvd,c=d(u^2+v^2). (u,v)=1
至于说如果c是素数，（必然有c=1(mod 4)),那么a^2+b^2=c^2必然有唯一解，这个是数论中的一个结论。但是这个方法不适合求素数，复杂度太高。

[mathe]

上面唯一性证明如果利用高斯整数环里面唯一因子分解定理可以轻松得出

[IT修补匠]

不太明白！很深啊！

[超级大笨狼]

哥邪恶了，一看到勾股，哥就想到了股沟，你懂的。。。

[wukecoco]

很好很深奥

[星空仰望者]

好貼收藏 帮顶接分

[星空仰望者]

[Quote=引用 6 楼 litaoye 的回复:]

先证一下最简单的3，三条边为a b c，其中a为长边，

if c是3的倍数，不用证了
else
c mod 3 = 1 or 2 =>
c^2 mod 3 = 1 =>
(a + b) * (a - b) mod 3 = 1 =>
(a + b) mod 3 = 1 and (a - b) mod 3 = 1 or
(a + b) mod 3 = 2 and (a - b) m……
[/Quote]
先证一下最简单的3，三条边为a b c，其中a为长边，

这个是或的关系吧

[星空仰望者]

[Quote=引用 6 楼 litaoye 的回复:]

先证一下最简单的3，三条边为a b c，其中a为长边，

if c是3的倍数，不用证了
else
c mod 3 = 1 or 2 =>
c^2 mod 3 = 1 =>
(a + b) * (a - b) mod 3 = 1 =>
(a + b) mod 3 = 1 and (a - b) mod 3 = 1 or
(a + b) mod 3 = 2 and (a - b) m……
[/Quote]
求证：每组勾股数中至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数，至少有一个是5的倍数。

这个是或的关系吧这个是或的关系吧

[SomethingWrong]

挺简单个东西整这么复杂
目标：a^2+b^2=c^2（a,b,c互质）
显然c为奇数；a,b一个奇数一个偶数，令a为奇数,b为偶数
a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b)
令 j=c+b,k=c-b
则 a^2= j * k
穷举奇数 a 平方后因式分解再合理分配给 j,k即可

[aiwoqshijie]

搞不懂啊