千分散尽还复来：关于ilni

[pathuang68]

1. ilni是实数还是复数？请证明。其中i * i = -1，ln是自然对数。
2. 如果是实数，请计算它等于多少。

意图：是想让大家觉得数学还是很有意思的。

[無_1024]

又是数学啊 呵呵 看着头疼

[一根烂笔头]

找本《复变函数》看看吧！

[一根烂笔头]

我给你算算！你等会！

[一根烂笔头]

csdn输入不支持公式编辑器，这一点我很觉得不便！

有欧拉公式：e(iθ)=cos(θ)+isin(θ)!有这个公式就可以展开了！
当θ=∏／2时，e(i∏／2)=i;
结果是：i㏑i=i(㏑|e(i∏／2)|+i*arg（e(i∏／2)）+i2k∏)(k=0,1,2,3,...)或者（k=0,-1,-2,-3...）

[pathuang68]

[Quote=引用 4 楼 my_live_123 的回复:]

csdn输入不支持公式编辑器，这一点我很觉得不便！

有欧拉公式：e(iθ)=cos(θ)+isin(θ)!有这个公式就可以展开了！
当θ=∏／2时，e(i∏／2)=i;
结果是：i㏑i=i(㏑|e(i∏／2)|+i*arg（e(i∏／2)）+i2k∏)(k=0,1,2,3,...)或者（k=0,-1,-2,-3...）
[/Quote]

思路正确，俺给您开道！不然你没法继续了：）

[一根烂笔头]

的确，没法回复了，只能连续三次！
我的结果还没化简呢！呵呵

结果是一个实数：
化简一下为：
-（2k+1）Π；（k=0,1,-1,2,-2,3,-3...)

[海盗医生]

LF 强烈支持

[pathuang68]

[Quote=引用 6 楼 my_live_123 的回复:]

的确，没法回复了，只能连续三次！
我的结果还没化简呢！呵呵

结果是一个实数：
化简一下为：
-（2k+1）Π；（k=0,1,-1,2,-2,3,-3...)
[/Quote]
这个结论不太对，重新算算。

[一根烂笔头]

一项一项化看看
i㏑i=i(㏑|e(i∏／2)|+i*arg（e(i∏／2)）+i2k∏)(k=0,1,2,3,...)或者（k=0,-1,-2,-3...）

㏑|e(i∏／2)|=i∏／2

i*arg（e(i∏／2)）=i*arg(i)=i∏／2

i2k∏

上面三项加加起来：i（2k+1）∏
然后再乘以i
得-（2k+1）Π

[一根烂笔头]

arg如何换成Arg的话结果会不一样！

[JiangXiang]

向各位牛人致敬

[qq120848369]

很明显不懂。

[super_miker]

i lni = x
e ^ (i lni) = e ^ x
i e ^ i = e ^ x
e ^ i = (e ^ x) / i
- e ^ i = i e ^ x
=>
cos 1 + i sin 1 = -i * e ^ x
sin 1 + i cos 1 = -e ^ x
-sin 1 - i cos 1 = e ^ x
=>
e ^ x = - cos (pi/2 - 1) - i sin (pi/2 - 1)
= cos (3pi/2 - 1) + i sin (3pi/2 - 1)
=>
x = 3pi/2 - 1 + 2kpi, k <- Z

[pathuang68]

[Quote=引用 14 楼 super_miker 的回复:]

i lni = x
e ^ (i lni) = e ^ x
i e ^ i = e ^ x
e ^ i = (e ^ x) / i
- e ^ i = i e ^ x
=>
cos 1 + i sin 1 = -i * e ^ x
sin 1 + i cos 1 = -e ^ x
-sin 1 - i cos 1 = e ^ x
=>……
[/Quote]
从
e ^ (i lni) = e ^ x
到
i e ^ i = e ^ x
也就是说：
e ^ (i lni) = i e ^ i
是怎么算出来的？

[ri_aje]

设 lni = x => e^x = i，根据欧拉公式有，x = (2k*pi + pi/2)*i,其中 k 为整数。
所以，ilni = i*x = i*(2k*pi + pi/2)*i = -(2k*pi + pi/2) = -2k*pi - pi/2，为一实数。另外，由于 k 为任意整数，所以第一项前面的负号可以融入 k 中得到更简单的形式，为 ilni = 2k*pi - pi/2。

[riyueming184]

[Quote=引用 16 楼 ri_aje 的回复:]
设 lni = x => e^x = i，根据欧拉公式有，x = (2k*pi + pi/2)*i,其中 k 为整数。
所以，ilni = i*x = i*(2k*pi + pi/2)*i = -(2k*pi + pi/2) = -2k*pi - pi/2，为一实数。另外，由于 k 为任意整数，所以第一项前面的负号可以融入 k 中得到更简单的形式，为 ilni = 2k*pi - pi/2。
[/Quote]
你说得很对，简单问题不要复杂化