数学高手解答

Ark_Xu 2011-07-13 10:50:01

有一个等式
arcsin(a/(2r)) = 90b/(pi * r)
其中 r = 2068.85 a = 1000 b = 1010 pi = 圆周率
等式成立
现在假设 r 未知对等式两边求导因为 arcsin(x)' = 1 / sqrt(1 - x^2) 所以得：
1 / sqrt(1 - (a/(2r))^2) * a/2 * (-1 / r^2) = 90b / pi * (-1 / r^2)
两边可以约掉 (-1 / r^2)
这时候再代入 r = 2068.85 a = 1000 b = 1010 pi = 圆周率
结果等式不成立为什么？
其实是想得到 r 的表达式
如果这样做不行该怎么做？

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kerbcurb 2011-07-19

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你问的问题有问题，估计你的意思是给定a,b，然后根据那个等式求r,这个是可以通过牛顿法、截弦法，二分法等求解的，不过需要知道a,b的具体数值。

假设 x = 1/r;等式变为：

0.5ax = sin(90bx/pi)；因为|sin(90bx/pi)|<=1,可知：|x| <= 2 / a,如果r > 0，0 < x < 2 / a, 否则：-2/a < x < 2 / a,求解区间这样就确定出来了。

假设：f(x) = 0.5ax - sin(90bx/pi)；

如果用牛顿法,f'(x) = 0.5a - (90b/pi)cos(90bx/pi)

假设0 < x < 2 / a，给定一个x的初值，比如x0 = 1/a,然后x1 = x0 - f(x0) / f'(x0),然后x0 = x1,重新计算：x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，检查|x1 - x0|是否足够小，如果足够小，近似解就是x1,否则，重复这个过程

kerbcurb 2011-07-19

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这个方程有34个解

kerbcurb 2011-07-19

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在你给出的a,b，这个方程有17~18个解

yyunffu 2011-07-14

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没错，数值求解。牛顿法、截弦法，二分法等等，这些高等数学上有，挺实用。

超级大笨狼 2011-07-14

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在数学推导正确的前提下，计算机有可能有精度的问题。

kerbcurb 2011-07-14

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你这个只能数值求解，没法得到解析表达式，比如牛顿法、截弦法，二分法等等

Ark_Xu 2011-07-13

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根据这个方程可以得到 x 关于 a 和 b 的表达式吗？
[Quote=引用 4 楼 leonhd 的回复:]

即x / sinx = 180b/ (pi * a)；
根据最后一个方程，求出角度x关于a、b的表达式
[/Quote]

leonhd 2011-07-13

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虽然有arcsin(a/(2r)) = 90b/(pi * r)在r = 2068.85 a = 1000 b = 1010时成立
但是，这并不意味着左右两个函数在r = 2068.85这个点上的导数（曲线斜率）相同！
因此，对等式两边求导的做法是缘木求鱼，呵呵！
=======================
你讲述的不是特别清楚，我猜测：
原题求的是r关于a b的表达式，而你用计算器得到了一个特解？
=======================
我提供一个思路：（10多年没动过微积分了）
设角x = arcsin(a / 2r)，两边取sin，那么r = a / 2sinx；
考虑原式，有x = 90b/(pi * r)，那么有r = 90b / (pi * x)；
把上述两个r的表达式联立，有a / 2sinx = 90b / (pi * x)，即x / sinx = 180b/ (pi * a)；
根据最后一个方程，求出角度x关于a、b的表达式，带入到前述r = a / 2sinx或r = 90b / (pi * x)
即可得到r的表达式

Ark_Xu 2011-07-13