素数的唯一性定理与求1到100之间所有素数的问题

[bluescorpion]

求1到100之间的所有素数的问题。
如果一个数是素数，姑且叫这个数为P好了，那么P是不可能被1到P之间除1和P外的任何一个其他的素数整除。那么有如下算法:­

算法1

int GetPrimeFromOne2Hundred()
{
int p[30]={0};
int i,j;
int count1=0,count2=0;//用于累计循环次数

for(i=1;i<=100;i++)
{
j=0;
while(p[j]!=0&&(p[j]==1||i%p[j]!=0))
{
j++;
count1++;
}
if(p[j]==0)
{
p[j]=i;
count2++;
}
}

for(i=0;i<30;i++)
printf("%d\t",p[i]);

printf("%d\t%d\t%d\t",count1,count2,count1+count2);//输出循环次数

return 0;
}

count1的值为436，count2的值为26，总共为462次。

其实对于一个整数N，将其分解成两个因数，任一一个因数的减小都会造成另外一个因数的增大。假设N=i*j，i和j都是整数，那么N%i与N%j都是等于0，在这个问题中二者的意义是一样的。于是我们可以找到一个数m，即只要N不能被小于m的整数整除的话，那么就可以断定N是素数，这个数既是m=(int)sqrt(N)，根据“素数的唯一性定理”，范围还可以缩小，只要N不能被小于m的素数整除的话，那么就可以断定N是素数。于是该算法可改进如下：­
算法2

int GetPrimeFromOne2Hundred()
{
int p[30]={0};
int i,j,k,n;
int count1=0,count2=0;//用于累计循环次数

n=0;

for(i=1;i<=100;i++)
{
j=0;
k=(int)sqrt((double)i);
while(p[j]!=0&&p[j]<=k&&(p[j]==1||i%p[j]!=0))
{
j++;
count1++;
}

if(p[j]==0||p[j]>k)
{
p[n]=i;
n++;
count2++;
}

}
for(i=0;i<30;i++)
printf("%d\t",p[i]);

printf("%d\t%d\t%d\t",count1,count2,count1+count2);//输出循环次数

return 0;
}

count1的值为206，count2的值为26，总共为232次。

循环总次数，与算法1相比，算法2减少230次。但随着范围的扩大，例如求1到1000之间的素数，则对于算法1，循环总次数为15788+169=15957次；而对于算法2，循环总次数为2969+169=3138次。可见算法2相对算法1，效率有很大提高。