重开一贴：求证2个或以上的连续正整数之和，不可能等于2的n次方

[神马被哪个妞占用了呢]

也就是说，2的n次方不等于几个连续的正整数之和。附测试工具：

Private Sub Command1_Click()
Cls
Dim i As Long, s As String, TotalNum As Long
TotalNum = Val(InputBox("输入总和", , 1000))
For i = 1 To TotalNum / 2
    If TotalNum / i - (i - 1) / 2 < 1 Then Me.Caption = "循环到" & i: Exit For
    If TotalNum Mod i = 0 Then
        If i Mod 2 = 1 Then '连续个数为奇数
            s = TotalNum / i - (i - 1) / 2 & "到" & TotalNum / i + (i - 1) / 2
            Print s
        End If
    ElseIf TotalNum Mod i = i * 0.5 Then '连续个数为偶数
        s = TotalNum / i - (i - 1) / 2 & "到" & TotalNum / i + (i - 1) / 2
        Print s
    End If
Next
End Sub

[贝隆]

[Quote=引用 5 楼 的回复:]
反证：
n 个连续正整数 {a1,a2,...,am} 的和 S 的计算公式为 S = n * (a1 + an) / 2
假设 S 为 2 的幂，那么 n 和 (a1 + an) 都必须是 2 的幂
由连续整数 an = a1 + n - 1
推得 (a1 + an) = 2 * a1 + n - 1
其中 2 * a1 和 n 都是偶数，所以 (a1 + an) 是奇数，不可能是 2……
[/Quote]
莫非赵老虎是传说中的奥赛冠军？

[dianyancao]

呵呵，这么晚了还没睡，用不着写代码吧？

连续正整数的公差D是 1 吗？，如果公差D是奇数，比如D=1,是正确的。
但是如果D是偶数，能构造下列等差数组，满足总和为2^(m+p)形式，(m,p∈ℕ+）

设等差数列首项为A1，公差为D，一共N项，那么总和S=(N*(N-1)*D/2)+N*A1
构造D=2*n，N=2^p，A1=2^m-(2^p-1)*n （n,p,m∈ℕ+）
那么总和S=n*(2^p*(2^p-1)+2^p*(2^m-(2^p-1)*n))
整理得S=2^(m+p)

即若公差D是偶数有反例，比如1,3,5,7, S=2^4

如果D是奇数，根据上述丢番图方程的解：
A1=(2^m-(2^p-1)*D)/2
不难看出这里的D必须含有因子2。

综上所述，连续的正整数的公差D为奇数时，总和S不会等于2的n次方(n∈Z）

[lxq19851204]

连续数的特征就是有中位数

当连续数为奇数时，奇数*中位数<>2的N次方
当连续数为偶数时，（偶数/2）*中位数（偶数+奇数=奇数）<>2的N次方

[神马被哪个妞占用了呢]

我数学只有初中水平…我的理解跟poslin差不多：

因为2的n次方其因数不含奇数。（2×2×2×2......×2）
当连续相加的个数为奇数个时，其和肯定能被这个个数（奇数）整除，所以它的和不是2的n次方；
当连续相加的个数为偶数个时，其和肯定为奇数，所以它的和也不是2的n次方。
而连续正整数的个数只能是这2种情况。所以m个连续的正整数相加，其和肯定不是2的n次方。

感谢poslin，Worldy,dianyancao,tiger_zhao 等大大的回答，还有各位捧场的朋友。
就等worldy来结帖了……

[神马被哪个妞占用了呢]

草草好久不见哦……
木有写代码。在调试网络呢……艹蛋的，白天不好干事呢……

[神马被哪个妞占用了呢]

网络弄好了，3根电信1根联通，掉线切换、DNS转换完毕。没睡意，去修修设备去……

[worldy]

[Quote=引用 9 楼 的回复:]
我数学只有初中水平…我的理解跟poslin差不多：

因为2的n次方其因数不含奇数。（2×2×2×2......×2）
当连续相加的个数为奇数个时，其和肯定能被这个个数（奇数）整除，所以它的和不是2的n次方；
当连续相加的个数为偶数个时，其和肯定为奇数，所以它的和也不是2的n次方。
而连续正整数的个数只能是这2种情况。所以m个连续的正整数相加，其和肯定不是2的n次方。

感谢posl……
[/Quote]

当连续相加的个数为偶数个时，其和肯定为奇数，所以它的和也不是2的n次方。
这个结论不成立：

（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）=4n+10 是个偶数,推而广之，个数为4的倍数时，连续数之和肯定为偶数

[worldy]

[Quote=引用 9 楼 的回复:]
我数学只有初中水平…我的理解跟poslin差不多：

因为2的n次方其因数不含奇数。（2×2×2×2......×2）
当连续相加的个数为奇数个时，其和肯定能被这个个数（奇数）整除，所以它的和不是2的n次方；
当连续相加的个数为偶数个时，其和肯定为奇数，所以它的和也不是2的n次方。
而连续正整数的个数只能是这2种情况。所以m个连续的正整数相加，其和肯定不是2的n次方。

感谢posl……
[/Quote]

呵呵，不会吧？我有这么大的面子啊，谢谢谢谢谢谢

[神马被哪个妞占用了呢]

嗯嗯……还是要根据p的来。
当偶数个相邻的正整数相加时，均数为（第一个数+最后一个数）÷2，其小数位肯定是0.5
总和＝均数×个数＝均数×2×个数÷2
均数×2肯定＝一个奇数，而个数÷2＝一个整数
那么总和的因数中包含奇数，所以它肯定不等于2的n次方

[worldy]

[Quote=引用 12 楼 的回复:]
嗯嗯……还是要根据p的来。
当偶数个相邻的正整数相加时，均数为（第一个数+最后一个数）÷2，其小数位肯定是0.5
总和＝均数×个数＝均数×2×个数÷2
均数×2肯定＝一个奇数，而个数÷2＝一个整数
那么总和的因数中包含奇数，所以它肯定不等于2的n次方
[/Quote]

这个证明应该没有漏洞，但是个数为奇数时，应该还有问题

[worldy]

[Quote=引用 13 楼 的回复:]
引用 12 楼 的回复:
嗯嗯……还是要根据p的来。
当偶数个相邻的正整数相加时，均数为（第一个数+最后一个数）÷2，其小数位肯定是0.5
总和＝均数×个数＝均数×2×个数÷2
均数×2肯定＝一个奇数，而个数÷2＝一个整数
那么总和的因数中包含奇数，所以它肯定不等于2的n次方


这个证明应该没有漏洞，但是个数为奇数时，应该还有问题
[/Quote]

还是LZ有道理
假设连和个数为奇数m

s=a1+a2+ak (k=m-1)
s=(a1+ak)*m/2 肯定为整数
因为m为奇数，所以，（a1+ak）/2=sa肯定为整数

所以
s=sa * m
包含有奇数的因素，但2^K 任何因子肯定都是偶数，因此s肯定不会是2^K

[阿呆哥]

好像高中数学里有，叫什么推到的。

[Tiger_Zhao]

反证：
n 个连续正整数 {a1,a2,...,am} 的和 S 的计算公式为 S = n * (a1 + an) / 2
假设 S 为 2 的幂，那么 n 和 (a1 + an) 都必须是 2 的幂
由连续整数 an = a1 + n - 1
推得 (a1 + an) = 2 * a1 + n - 1
其中 2 * a1 和 n 都是偶数，所以 (a1 + an) 是奇数，不可能是 2 的幂
矛盾！

[咸清]

不会，特来捣乱。
老鸟的论证很精彩