[讨论]上20阶楼梯，可以一次迈1，2，4步，请问有多少种上法？

[百分百好牛]

上20阶楼梯，可以一次迈1，2，4步，请问有多少种上法？
这样的题目，貌似有很多的。
比如：有N阶楼梯，一次可以上1层，或者2层，问一共有多少种上法。

int func1(int n)
{
    if (0 == n)     return 0;
    if (1 == n)     return 1;
    if (2 == n)     return 2;   //一次上两层，或者一次上一层；共两种上法

    return func1(n-1) + func1(n-2);
}

我也曾经看到过，如果 一次可以上1，2，3步，共有多少种上法？貌似也可以按上面的递归来做。

但是，如果一次可以上1, 2, 4层次呢？难道是一样的，可以按上面的递归做么？ 总感觉到了4，就不是那么简单了。
但想不明白。列出来大家讨论一下。

欢迎畅所欲言！

[RiqueZhang]

鄙人不才，10楼的方程解不出来

[Quote=引用 111 楼 的回复:]

既然kyzaqlx大牛对矩阵这么熟练，
为啥不顺便讲讲通项公式的解法呢。
[/Quote]

[sky2008444]

有没有人试过广度优先遍历？ 很好做的啊

[mathe]

取r为方程x^3-2x^2+x-1=0的唯一正根，即r~=1.754877666246692760049508896
于是通项为
a(n)=round(r^(n+1)/(3r^2-4r+1))

[HimeTale]

[Quote=引用 119 楼 的回复:]

取r为方程x^3-2x^2+x-1=0的唯一正根，即r~=1.754877666246692760049508896
于是通项为
a(n)=round(r^(n+1)/(3r^2-4r+1))
[/Quote]
能不能具体讲一下原因？
另外，牛顿迭代法好像只能求实根，不能求虚根。

[mathe]

设n级阶梯有a(n)种上法，容易给出初始条件a(1)=1,a(2)=2,a(3)=3,a(4)=5,
而且a(n+4)=a(n+3)+a(n+2)+a(n),为了方便起见，我们还可以利用递推式倒推出a(0)=a(4)-a(3)-a(2)=0,a(-1)=a(3)-a(2)-a(1)=0.
递推式对应的特征方程为x^4-x^3-x^2-1=(x+1)(x^3-2x^2+x-1)
我们现在看初始值为b(-1)=0,b(0)=0,b(1)=1而递推式为b(n+3)=2b(n+2)-b(n+1)+b(n)的数列
我们可以得出b(2)=2*1-0+0=a(2),由此我们可以知道b(n)=a(n)（其四项相同，而有相同四阶递推式必然相同）.
也就是验证了a(n+3)=2a(n+2)-a(n+1)+a(n) (当然实际上我是数值计算通项中(-1)^n的系数发现其为0)

而对于任意初始值前k-1项为0,第k项为1的k阶递推式，计算其通项非常简单
假设对应特征多项式f(x)的k个根为r1,r2,...,rk
将前k项值代入就是要求解方程
[r1^0 r2^0 ... rk^0 ] [u1] [0]
[r1^1 r2^1 ... rk^1 ] [u2] = [0]
[ ............................ ] [..] [.]
[r1^{k-1} r2^{k-1} ... rk^{k-1}] [uk] [1]
这个可以直接计算，分母是范德蒙行列式，所以就是\prod_{i<j} (rj-ri)
而对于每个系数的分子，就是将行列式一列用右边替换，变成低一阶的范德蒙行列式，
所以得到的结果必然是uh=1/\prod{i!=h}(rh-ri)=1/f'(rh)
于是我们得出这种情况的通项可以写成
a(n)=r1^n/f'(r1)+r2^n/f'(r2)+...+rk^n/f'(rn)
而对于我们这个题，由于我们需要从a(-1)而不是a(0)开始，于是相当于平移一项，所以改成
a(n)=r1^(n+1)/f'(r1)+r2^(n+1)/f'(r2)+r3^(n+1)/f'(r3)
数值计算方程x^3-2x^2+x-1=0的三个根得到
r1=1.754877666246692760049508896,
r2=0.1225611668766536199752455518-0.7448617666197442365931704286i
r3=0.1225611668766536199752455518-0.7448617666197442365931704286i
其中|r2|=|r3|=0.7548776662466927600495088964<1
而且系数1/f'(r2)=-0.1553144148202335388809513556 - 0.3403615184218391572668216586i
|1/f'(r2)|= 0.3741236836573856033137177179
所以对于n>=1时，我们知道
|r2^(n+1)/f'(r2)+r3^(n+1)/f'(r3)|=2|r2^(n+1)/f'(r2)|<=2*|r2|^2|1/f'(r2)|<1/2
由此我们得知a(n)=round(r1^(n+1)/f'(r1))

[mathe]

[Quote=引用 120 楼 的回复:]
另外，牛顿迭代法好像只能求实根，不能求虚根。
[/Quote]
牛顿迭代法可以求虚根，只是要求非实数的初始值

[mathe]

121楼的方法我过去在解决另外一个问题时用过，所以可以很快就得到比较简化的结果:
http://blog.csdn.net/mathe/article/details/2826067

[HimeTale]

[Quote=引用 123 楼 的回复:]

121楼的方法我过去在解决另外一个问题时用过，所以可以很快就得到比较简化的结果:
http://blog.csdn.net/mathe/article/details/2826067
[/Quote]
膜拜大牛，顺便在那边注册了一下...

[HimeTale]

求通项的大致思路应该是转成对角矩阵吧。
为啥我算出来的特征方程跟10楼不一样呢
我算的是x^4-x^3+x^2+1=0

[路口转弯]

好深奥的东西呀

[闲谈共视]

//用最最笨的方法对所有的情况进行遍历：
//问题分析：可以进行数组的遍历的问题的方式进行解决：
//具体的代码如下：
#include<stdio.h>
int main()
{
int x; //全部走一个阶梯需要20个1，如果一次走一个阶梯中参杂着2、4则，1应该出现偶数次
int y; //全部走两个阶梯需要10个2
int z; //全部走四个阶梯需要5个4
int count=0; //计数器
for(x=0;x<=20;x=x+2) // 1应该出现偶数次
{
for(y=0;y<=10;y++)
{
for(z=0;z<=5;z++)
{
if(x*1+y*2+z*4==20)
{
count++;
}
else
{
continue;
}
}
}
}
printf("%d",count);
}

[HimeTale]

不是有答案了吗，视而不见啊。

[HimeTale]

[Quote=引用 129 楼 的回复:]

不是有答案了吗，视而不见啊。
[/Quote]
发错帖了，无视。

[haorengoodman]

public static int getResult(int step1,int step2,int step3,int sum){
		int temp = 0;
		int flag = 0;
		for(int i=0;i<sum/step1;i++){
			for(int j=0;j<sum/step2;j++){
				for(int k=0;k<sum/step3;k++){
					temp = step1*i + step2*j + step3*k;
					if(temp == sum){
						flag++;
						System.out.println(i + "*1  " + j + "*2  " + k + "*4  ");
					}
				}
			}
		}
		System.out.println(flag);
		return flag;
	}

[shellJ]

[Quote=引用 2 楼 的回复:]

Java code

int func1(int n)
{
if (1 == n) return 1;
if (2 == n) return 2;
if (3 == n) return 3;
if (4 == n) return 6;

return func1(……
[/Quote]
好思路，有才

[蜡笔小新啦]

[Quote=引用 27 楼 的回复:]

仅供参考C/C++ code
//问题是这样，有N个数字，数值不同，要列出用他们不同的组合相加等于1000的情况。
//比如，a[3]={200,300,400}
//则有的情况为：
//5 0 0
//3 0 1
//2 2 0
//1 0 2
//0 2 1
//等情况。
#include <stdio.h>
int a[3]={200,300,400};
int temp[3]={0,0……
[/Quote]

应该是这样的吧？36种解法。

[白米若雪]

借用matlab，计算了下这个题目的近似通式：
f(n)=
(6868224515692809/72057594037927936+5188570295917323/72057594037927936*i)/((3874534210341939/18014398509481984+5886840975593053/4503599627370496*i)^(n+1))+(6868224515692809/72057594037927936-5188570295917323/72057594037927936*i)/((3874534210341939/18014398509481984-5886840975593053/4503599627370496*i)^(n+1))+1/5/((-1)^(n+1))+5488703274869591/9007199254740992/((320791565274941/562949953421312)^(n+1))

计算
f(0)=1
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=6
f(4)=9.999999999999996，约为10

f(20)=8.204699999999981e+004，约为82047

[白米若雪]

这个通式要求浮点数幂计算，不一定能比得上矩阵法。只是做为这个问题完整讨论的补充。

[WizardOz]

LZ的算法显然不对的，不能遍历所有情况。
这个问题其实是“换零钱”问题，一样一样的。

[h_w_m]

高数丢光了，什么通项式和对角矩阵法 我完全看不懂，只会循环和递归了 汗颜