如何求解多个绝对值式子总和的最小值

dianyancao 2012-05-25 11:24:56

如上式，Xi，Yi，Zi为 n 组已知数据，
求解m1, m2, m3 可以将每个绝对值式子，根据|·| > 0,|·| < 0,|·| = 0三种情形分别处理
是否有更高效的方法，求解m1, m2, m3呢？

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dianyancao 2012-06-01

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CSDN肿么了，回复不显示…

，还好结贴页面能显示回复
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FancyMouse ()发表于：2012-05-31 03:13:15 10 楼得分:
这个函数是凸函数。凸函数有通用的求最值的算法，不用展开abs。

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如何不展开abs，求解最值呢，不知下面的方法是否可行？

6楼的不等式组是将绝对值式中的除m1的其余部分先当作常量，
提取出m[1]的系数得到形如：

|a[1]|*|x + r[1]| + |a[2]|*|x + r[2]| + ... + |a[i]|*|x + r[i]| + ... |a[n]|*|x + r[n]|

的式子，则只需要将-r[1] <= -r[2] <= ... <= -r[i] <= ... <= -r[n]从小到大排列，即可求解m[1]

接着将r[i]代换成b[i] * m[2] + c[i]，
索引排序使得b[1] >= b[2] >= ... >= b[i] >= ... >= b[n]，
索引排序将每一个(c[j] - c[i]) / (b[i] - b[j])从小到大建立 1 到 n*(n-1)/2 的 bc索引，(i < j <= n)
则每一个 bc索引 = h(i,j)对应唯一的i,j
其中bc[h(i,j)] = (c[j] - c[i]) / (b[i] - b[j])

当m[2] <= bc[h(i,j)]，则r[i] <= r[j]
当m[2] >= bc[h(i,j)]，则r[i] >= r[j]

接着将c[i]代换成d[i]+e[i]，根据 bc索引的数据生成 bcbc索引，(m < n <= n*(n-1)/2)
则每一个 bcbc索引 = g(m,n) 对应唯一的h(i,j)[m], h(i,j)[n]
令每一个 P[h(i,j)] = (d[j] - d[i]) / (b[i] - b[j])
索引排序使得P[h(i,j)[1]] >= P[h(i,j)[2]] >= ... >= P[h(i,j)[n*(n-1)/2]]，
令每一个 Q[h(i,j)] = (e[j] - e[i]) / (b[i] - b[j])
令每一个 bcbc[g(m,n)] = (Q[h(i,j)[n]] - Q[h(i,j)[m]]) / (P[h(i,j)[m]] - P[h(i,j)[n]]) , (m < n <= n*(n-1)/2)
索引排序使得bcbc[1] <= bcbc[2] <= ... <= bcbc[n*(n-1)/2 * (n*(n-1)/2 - 1) / 2]

当m[3] <= bcbc[g(m,n)]，则bc[m] <= bc[n]
当m[3] >= bcbc[g(m,n)]，则bc[m] >= bc[n]

接下来就得到6楼的联动不等式组，只需要对m[3]取最多(n*(n-1)/2 * (n*(n-1)/2 - 1) / 2) + 1个区间，
即可经过递推，展开abs。
如何根据这种联动的不等式组，求得m[1],m[2],m[3]的取值区间，使得最小化Sum呢？